Fortran

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2010/2011
TRABAJO DE CURSO
CÁLCULO NUMÉRICO
FERNÁNDEZ SEOANE, LETICIA
CUENTA: n_lfs
PROGRAMA: Fortrandefinitivo.f, (ejecutable: a.out)
FICHERO RESULTADOS: Deformadas.txt( flechas, iteraciones, autovalor, axiles)

ÍNDICE
0. INTRODUCCIÓN.
1. CARGA CRÍTICA DE PANDEO MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS.
2. CARGA CRÍTICA DE PANDEO ANALÍTICAMENTE
3. REPRESENTACIÓN DE LOS MOVIMIENTOSTRANSVERSALES DE LA PLACA PARA EL MODO DE PANDEO CORRESPONDIENTE A LA CARGA CRÍTICA DE PANDEO.
4. COMPARACIÓN DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS ANALÍTICAMENTE CON LAS OBENIDAS NUMÉRICAMENTE.
5. DOCUMENTACIÓN EXTERNA DEL PROGRAMA.
6. ESQUEMA DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA.

0. INTRODUCCIÓN
En el trabajo de curso que se nos propone el objetivo es obtener la carga de pandeo de una placaplana de espesor constante y dimensiones a y b.
La placa está sometida a una carga distribuida por unidad de longitud Nx (positiva para esfuerzos de tracción) en el propio plano de la estructura en la dirección del eje x.

El problema se puede estudiar como un problema bidimensional asumiendo las siguientes hipótesis:
* El material es elástico, lineal e isótopo.
* El espesor es muchomás pequeño que las otras dos dimensiones de la placa.
* Los puntos situados inicialmente en la normal respecto al plano medio de la placa permanecen ortogonales a la superficie media que representa la deformada de dicho plano.
* Las tensiones normales en la dirección perpendicular a la placa son despreciables.
Bajo estas condiciones, y teniendo en cuenta que la ecuación en derivadasparciales que rige el fenómeno de pandeo de placas para una carga aplicada en la dirección del eje x es:
∇4w= NxD∂2w∂x2
donde :
∇4w= ∂4w∂x4+ 2∂4w∂x2.∂y2 + ∂4w∂y4
El movimiento en dirección z de cada punto de la placa viene dado por w. El módulo de rigidez a flexión (D) de calcula como:
D=Et312(1-μ2)
Donde E es el módulo de elasticidad delmaterial, t el espesor de la placa y μ es el módulo de Poisson.
Con las condiciones de contorno mencionadas a continuación:
Caso 1:placa simplemente apoyada.
w=0,∂2w∂x2=0 en x=0
w=0,∂2w∂x2=0 en x=a
w=0,∂2w∂y2=0 en y=0
w=0,∂2w∂y2=0 en y=b
Caso 2: placa empotrada.
w=0,∂w∂x=0 en x=0
w=0,∂w∂x=0 en x=a
w=0,∂w∂y=0 en y=0
w=0,∂w∂y=0 en y=b

1. CARGA CRÍTICA DE PANDEO MEDIANTEDIFERENCIAS FINITAS
Interesa coger puntos equiespaciados.
* El tamaño de la malla lo definimos nosotros (N,M)
* N+2 puntos→ N+1 intervalos
* ∆x, ∆y son constantes.

∆x=aN+1

∆y=bM+1
Aplicamos la ecuación diferencial a cada punto i, j:
∇4wi,j= NxD∂2wi,j∂x2
∂2wij∂x2 → mediante desarrollo en serie de Taylor.
(1) wi+1,j=wij + ∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2(∆x)2+16∂3w∂x3 (∆x)3 + θ(∆x4)
(2) wi-1,j=wij - ∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2 (∆x)2-16∂3w∂x3 (∆x)3 + θ(∆x4)
Sumando (1) + (2) obtenemos una aproximación en diferencias finitas.
(3) ∂2w∂x2 = wi+1,j+ wi-1,j-2wij ∆x2+ θ(∆x2)
Cuántos más puntos tomemos, disminuirá el error θ(∆x2) y la solución se aproximará más a la solución analítica.
Restando (1)-(2); obtenemos lo mismo para ∂w∂x
(4) ∂w∂x= wi+1,j-wi-1,j2∆x+ θ∆x2
Para la dirección Y, ∂w∂y y ∂2w∂y2 son análogos.
∂4w∂x4 → mediante desarrollo en serie de Taylor.
(5) wi+1,j=wij + ∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2 ∆x2+16∂3w∂x3∆x3+124∂4w∂x4∆x4+1120∂5w∂x5∆x5+θ∆x6
(6) wi+2,j=wij + ∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2 ∆x2+16∂3w∂x3∆x3+124∂4w∂x4∆x4+1120∂5w∂x5∆x5+θ∆x6

(7) wi-1,j=wij - ∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2 ∆x2-16∂3w∂x3∆x3+124∂4w∂x4∆x4-1120∂5w∂x5∆x5+θ∆x6
(8) wi-2,j=wij -∂w∂x ∆x+12∂2w∂x2 ∆x2-16∂3w∂x3∆x3+124∂4w∂x4∆x4-1120∂5w∂x5∆x5+θ∆x6
(5) + (6) = (9)
(7) + (8)= (10)
(6)*(9)-(10) → obtenemos:
∂4w∂x4= 6wij- 4wi+1,j+ wi-1,j+ wi+2,j+ wi-2,j∆x4 + θ∆x2
∂4w∂y4= 6wij- 4wi,,j+1+ wi,j-1+ wi,j+2+ wi,,j-2∆y4 + θ∆y2
∂4w∂x2∂y2= 4wij-2wi,j+1+ wi+1,j+ wi,j-1+ wi-1,j∆x2∆y2+…
+wi+1,j+1+ wi+1,j-1+ wi-1,j+1+ wi-1,j-1∆x2∆y2

∂4w∂x4+ 2∂4w∂x2∂y2+∂4w∂y4= NxD ∂2w∂x2...
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