fotogrfia

Tema 1

Cálculo diferencial: Concepto y
propiedades de una función.
Representación gráfica.
1.1.

Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales
problemas planteados.

Los orígenes del Cálculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentaban
resolver el problema del cálculo de áreas usando el método exhaustivo (inventado por
Eudoxo), en el que se aproxima el áreade la región que se desea conocer mediante áreas de
regiones poligonales inscritas en ella cada vez más precisas. Con este método, Arquímedes
(287-212 a. C.) determinó la fórmula exacta del área del círculo y de otras figuras.
La sustitución de los números romanos por los caracteres arábigos, aparición de los signos
+ y −, el importante desarrollo de las notaciones matemáticas que empezó en elsiglo XVI
d. C., la notación decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuaciones
cúbica y cuártica estimularon el desarrollo de la Matemática y, en particular, de los símbolos
algebraicos que permitieron retomar el interés por el método exhaustivo, que se transformó
en lo que hoy se conoce como cálculo integral.
Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemáticasse dió en el siglo XVII
gracias a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y continuó su desarrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le
dieron una base matemática firme.
Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Cálculo son el concepto
de derivada y el concepto de integral. Ambos se apoyan en una herramientafundamental
que es el límite. Observemos que:
El límite permite estudiar la tendencia de una función cuando su variable se aproxima a un cierto valor.
La derivada permite calcular tasas de variación y pendientes de las tangentes a
las curvas, definiéndose pues como un límite.
La integral se introduce como límite de una suma “especial” y permite calcular áreas,
volúmenes, longitudes de curva,etc.

1

Matemáticas Aplicadas a la Óptica

1.1.1.

Tema 1

La función valor absoluto.

El valor absoluto de un número real x se designa por |x|, definido por:
|x| =

x
si x ≥ 0,
−x si x < 0.

En el caso del valor absoluto de una función, debemos tener en cuenta que:
|f (x)| =

f (x)
si f (x) ≥ 0,
−f (x) si f (x) < 0.

Ejemplo 1.1.1
|x − 5| =

x−5
si x − 5 ≥ 0,
−(x − 5)si x − 5 < 0.

x2 − 2|x| − 3 =

1.2.

=

x−5
si x ≥ 5,
−x + 5 si x < 5.

x2 − 2x − 3 si x ≥ 0,
x2 + 2x − 3 si x < 0.

Las funciones y sus gráficas.

La gráfica de una ecuación de dos variables es el conjunto de puntos del plano que son
solución de la ecuación y = f (x). Para definir el concepto de función, nos interesamos
por aquellas ecuaciones de dos variables en las que una deellas (habitualmente, la variable
y) se puede expresar (de forma unívoca) en función de la otra variable (habitualmente, la
variable x). Hablamos entonces de variable dependiente e independiente, respectivamente,
y se denotará de forma general como y = f (x).
Hay varios aspectos importantes de las funciones a tener en cuenta a la hora de su representación gráfica, y que tratamos a continuación.1.2.1.

Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de puntos de R para los que la función tiene
sentido. Ilustraremos algunos de los casos que se estudian con más frecuencia en ejemplos.
Ejemplo 1.2.1
f (x) =

1−x
1+x

1−x
≥ 0 y para que el denominador
1+x
no se anule que x = −1. Dicha situación de puede dar si:

Para que la raíz tenga sentido necesitamosque

•

1−x≥0
1+x>0

, lo que se corresponde con (−1, 1],

•

1−x≤0
1+x 0. Tenemos varias situaciones posibles:

•

•

•

•


 x>0

2−x>0


x+3>0

 x>0

2−x 0
x
1 1
(loga (x)) =
ln a x

1
f (x)
f (x)
1 1
(loga f (x)) =
f (x)
ln a f (x)
(ln f (x)) =

Trigonométricas
(senx) = cos x

(senf (x)) = f (x) cos f (x)

(cos x) = −senx

(cos f...