Fourier

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REPRESENTACIONES DE FOURIER PARA LAS SEÑALES Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes tipos de señales. Estas cuatro clases están definidas por las propiedades de periodicidad de una señal y si el tiempo es de tipo continuo o discreto. Las señales periódicas tienen representación en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica aseñales periódicas de tiempo continuo mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a señales periódicas de tiempo discreto. Las señales no periódicas tienen representación en forma de transformada. Si la señal es continua en el tiempo y no periódica, la representación es llamada Transformada de Fourier (FT). Si la señal es discreta en el tiempo y no periódica entonces la representaciónusada es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La siguiente tabla ilustra la relación entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación de Fourier adecuada. Tiempo Periódicas No periódicas

Continuas

Series de Fourier ( FS )

Transformada de Fourier ( FT )

Discretas

Series discretas de Fourier ( DTFS )

Transformada discreta de Fourier ( DTFT)

Lasiguiente tabla muestra las relaciones matemáticas utilizadas para calcular las representaciones de Fourier. Tiempo Periódicas Series de Fourier No periódicas Transformada de Fourier

Continuas

Series discretas de Fourier

Transformada discreta de Fourier

Discretas

La Transformada Discreta de Fourier (DTFS) La DTFS es la única representación de Fourier que es de valor discreto tanto enel tiempo como en la frecuencia y de esta manera implícitamente conveniente para una implementación computacional en

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MATLAB. Las expresiones utilizadas para esta representación son fácilmente implementables en MATLAB como archivos. Sin embargo los comandos built-in de MATLAB ffty ifft pueden también ser utilizados para evaluar la DTFS. Dado un vector llamado x de longitud N representando un periodo de una señal periódica x[n]. el comando: >> X=fft(x)/N Produce un vector llamado X de longitud N que contiene los coeficientes de la DTFS. Matlab asume que el periodo evaluado en la señal es desde 0 hasta N-1, de manera que el primer elemento de x y X corresponden a x[0] yX[0] respectivamente, mientras que los últimos elementos corresponden a x[N1] y X[N-1]. Nótese que la división por N es completamente necesaria, debido a que el comando fft evalúa la siguiente expresión sin realizar la división por N.

Similarmente, dados los coeficientes de una DTFS en un vector llamado X el comando: >>x=ifft(X)*N Produce un vector x que representa un periodo de la señal en eltiempo. Nótese que el comando ifft debe estar multiplicado por N para evaluar la siguiente ecuación.

Los comandos fft e ifft son computados usando un algoritmo rápido o numéricamente eficiente, conocido como “Fast Fourier Transform”. Considere el siguiente ejemplo: Determinar los coeficientes DTFS para la siguiente señal:

La señal tiene un periodo de 24, de manera que tan solo se hace necesariodefinir un periodo y evaluar sobre este periodo la DTFS. Los comandos usados para realizar dicho cálculo son: >> n = 0:23; >> x = ones(1,24) + sin( (n * pi / 12) + (3 * pi / 8 ) ); >> X = fft(x)/24; El resultado teórico del ejemplo es el siguiente:

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El resultado obtenido mediantelos comandos presentados anteriormente es: X= Columns 1 through 5 1.0000 0.4619 - 0.1913i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

Columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i Columns 11 through 15 -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i Columns 16 through 20 -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 +...