fourier
Prof. Derwis Rivas
Apuntes del Postgrado en Ingenier´a
ı
4 de Julio del 2008
Derwis Rivas
Algebra Lineal
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Definicion y Convergencia
´Las series de Fourier surgen de la tarea practica de
´
´
´
representar una funcion periodica f (x) en terminos de
´
funciones seno y coseno. La razon se debe a lafacilidad con la
que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman
´
estas funciones periodicas en series de Fourier.
´
Definicion
´
la serie trigonometrica a0+ ∞ (an cos nx + bn sen nx) con
n=1
coeficientes dados por
π
1
a0 =
f (x)dx
2π −π
1 π
an =
f (x) cos nxdx
π −π
1 π
bn =
f (x) sen nxdx
π −π
se denomina laserie de Fourier de f .
Derwis Rivas
Algebra Lineal
Esta serie no siempre converge, el siguiente teorema establece
bajo que condiciones converge esta serieTeorema
´
´
Si una funcion periodica f (x) con periodo 2π es continua a
trozos en el intervalo −π ≤ x ≤ π y tiene derivada por la
izquierda y por la derecha en todo puntode dicho intervalo,
entonces la serie de fourier de f (x) es convergente. Su suma
es f (x), salvo en un punto x0 en el que f es discontinua y la
suma de la serie es elpromedio de los l´mites por la derecha e
ı
izquierda de f (x) en x0 .
Derwis Rivas
Algebra Lineal
Ejemplo (Onda Cuadrada)
´
Encuentra la serie de Fourier dela funcion
f (x) =
−k, si −π < x < 0
k,
si 0 < x < π
y
f (x + 2π) = f (x).
Funciones de este tipo se presentan como fuerzas externas
´
que actuan sobresistemas mecanicos, fuerzas electromotrices
´
´
en circuitos electricos, etc.
Ejemplo
´
Demuestra que la serie de Fourier de la funcion
f (x) = k
con
−π
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