Fracciones Continuas

Páginas: 9 (2121 palabras) Publicado: 11 de junio de 2012
FRACCIONES CONTINUAS
Las fracciones continuas, tan presentes en la historia de las matemáticas, están en la actualidad prácticamente olvidadas, especialmente en las aulas de Secundaria. Si acaso aparecen es como mera “gimnasia algebraica”.
Pero son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antiguaGrecia, Euclides (330 a.C – 275 a.C) estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos.
En esta sesión veremos las fracciones continuas relacionadas con problemas de recubrimientos. También relacionado con ellas está el concepto de máximo común divisor y el algoritmo de Euclides.

Empezaremos con la definición: Una fracción continua simple es aquella quetiene la forma siguiente:

Los numeradores son todos iguales a 1, y los coeficientes ai, 1 ≤ i ≤ n son números naturales y a0 es la parte entera de la fracción (mayor entero menor que la fracción). Esta forma (fracción de múltiples barras) es poco práctica, por eso se pensó en otra notación, menos complicada. La más aceptada es: [a0; a1, a2, a3,…, an]
Vemos un ejemplo con la fracción:

Yexpresado en la notación anterior sería (También, y esto es general, se podría expresar como [5; 2, 1, 2, 1] pues el último castillo también se puede poner en la forma, pero se suele poner la primera expresión).

EJERCICIO 0: De las siguientes fracciones continuas, ¿cuál es la mayor? Canguro Matemático del año 2011 (Nivel 4 pregunta 24):
A) ; B) ; C) ; D) ; E)

Si se permite que los numeradoreso los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.
Vemos otro ejemplo con fracciones negativas

EJERCICIO 1: Expresar las siguientes fracciones como fracciones continuas:
a) b) c) d)

EJERCICIO 2: Determinar la fracción racional asociada a las fracciones continuas simples:
a) [2; 3, 2, 4] b) [−3; 2,4, 5] c) [0; 3, 5, 8, 6]

EJERCICIO 3: La fracción continua correspondiente a es [2; 1, 4, 3]. ¿Qué fracciones corresponden a las siguientes fracciones continuas:
a) [2; 1, 4, 4] b) [2; 1, 4, 5] c) [2; 1, 4, 6] d) [2; 1, 4, 7]
e) Halla la fracción para la fracción continua [2; 1, 4]
f) ¿Puedes hallar la fórmula de la fracción para la fracción continua [2; 1, 4, n]?

EJERCICIO 4:Determinar las fracciones simples asociadas a las fracciones continuas simples: a) [1; 3, 5, 7]; [1; 3, 5]; [7; 5, 3, 1] b) [1; 1, 1, 2]; [1; 1, 1]; [2; 1, 1, 1]

El último ejercicio es un ejemplo de una propiedad general que dice lo siguiente:
Si y , entonces la fracción continua simple
Repasaremos a continuación un algoritmo conocido, el algoritmo de Euclides, que recordamos; es unprocedimiento por el cual se obtiene el máximo común divisor de dos números enteros. Se basa en el hecho de que el m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r) donde r es el resto de la división entre a y b.
Por ejemplo si queremos calcular el m.c.d.(972, 421) mediante el algoritmo de Euclides los cálculos se disponen de la siguiente manera

| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
972 | 421 | 130 | 31 | 6 | 1 |
130 | 31 | 6 | 1 | 0| |

El último divisor cuando el resto da 0 es el m.c.d. En nuestro caso el m.c.d.(972, 421) = 1, pero lo realmente interesante es que viendo la fracción continua simple correspondiente a la fracción =2;3, 4, 5, 6 coincide con los cocientes parciales de las divisiones sucesivas del algoritmo de Euclides. Y esto es así ya que:
972 = 2·421 + 130; 421 = 3·130 +31; 130 = 4·31 + 6; 31 =5·6 + 1; 6 = 1·6 + 0
Y por lo tanto se tiene entonces que:

EJERCICIO 5: Calcula las fracciones continuas simples utilizando el algoritmo de Euclides de las siguientes fracciones:
a) b) c) d)

Desde el punto de vista geométrico, el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción, es un segmento, dividiéndolo en dos partes. Entre las proporciones aplicadas...
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