Fractales y caos

Índice. Fractales y Caos.

Fractales.

4 ¿Qué son los Fractales?

5 Características de los Fractales

6 Perímetro de los Fractales

7 Dimensión Fractal

8 Utilidad de los Fractales

9 Historia de los Fractales

1. La Teoría del Caos

1. ¿En que consiste la Teoría del Caos?

2. Origen de la Teoría

2. Fractales y Caos.

Fractales y Caos

Paraentender la relación que guardan esta nueva rama de las matemáticas y la Teoría del Caos, hay que comprender qué dice cada una de ellas por separado.

¿Qué son los fractales?

Antes de comenzar, cabe destacar que los fractales no dejan de ser figuras geométricas. Su única diferencia es que no son “explicables” con la geometría común, la Euclidia. Sin embargo, eso no hace extraños a losfractales, es más, lo extraño es lo euclidio; lo euclidio es lo artificial. Cuando vamos por el campo, y vemos una piedra esférica nos sorprendemos, y sin embargo, muchas de las piedras “son” fractales, aunque no reparamos en ellos. Esto se debe a que nuestra mente siempre tiende a pensar en geometría euclidia por ser la que se estudia desde pequeño; es más, la mayoría de las personas sólo conocen esetipo de geometría.

Los fractales son, expresado en lenguaje coloquial, una forma de comprimir, en gran parte imágenes, especialmente objetos naturales. Convierte esa imagen en un conjunto de datos y en un algoritmo para expandirla nuevamente a su tamaño original.
Matemáticamente hablando, un fractal puede definirse mediante un algoritmo recursivo.
Sin embargo, hoy en día no se ha encontrado unadefinición rigurosa para los fractales. El “creador” de esta rama de las matemáticas, B. Mandelbrot, los definió como conjuntos cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch (es decir, su dimensión fraccionaria, o fractal) es estrictamente mayor que su dimensión topológica (su dimensión euclidia). Aunque él mismo admitía que esta definición no era lo suficientemente general.
Sin embargo, se puede decirque un fractal es un objeto cuya creación depende de reglas de irregularidad o de fragmentación. No es una definición estricta, pero es el proceso por el que se crean.

Los fractales tienen tres características básicas; sin ellas, no serían fractales:

1º: Dimensión. Si tenemos una recta ocupará una dimensión, mientras que si tenemos un cuadrado ocupará dos. Pero, si lo que tenemos es unaúnica recta, que ocupa prácticamente todo el espacio del cuadrado ¿qué dimensión es?
La primera de las imágenes representa a la primera
dimensión, y la última imagen a la segunda. ¿Pero,
y entre medias? La respuesta es la dimensión fractal.
Como su nombre indica, es una dimensión fraccionaria,
es decir, no son números enteros.
De esta manera se entiende la definición antes
explicada de B.Mandelbrot; que decía que un objeto
era un fractal cuando su dimensión fraccionaria era
mayor que la euclidia. Si cogemos una de las imágenes
que están en el medio, su dimensión euclidia es 1, y sin embargo, la dimensión fractal es de 1,... por lo que es mayor su dimensión fractal que la euclidia. Se cumple la definición de B. Mandelbrot.

2º: Recursividad. En esta imagen se ve un claro ejemplode recursividad. Una imagen que se contiene a sí misma. En este caso la recursividad es
infinita. La recursividad se puede definir como la
capacidad de definirse en términos de sí mismo.
Si cogiésemos esta imagen, y únicamente mirásemos una
pequeña parte, veríamos exactamente lo mismo que
cogiendo más, o menos. Así llegamos a definir una
característica básica de los fractales; que es que suaspecto
y distribución estadística no varia en función de la escala con la que se los observe.

La función de factorial se puede definir así: n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*....1
Por ejemplo: 5! = 5*4*3*2*1 = 120
Si miramos el ejemplo vemos que: 5! = 5*4*3*2*1 = 120; es decir:
4! = 4*3*2*1
3! = 3*2*1
2! = 2*1
1! = 1

De estas operaciones deducimos que:

5! = 5*4!
4! = 4*3!
3! =...