Fractales

INTRODUCCIÓN

Los Fractales se han convertido en una parte de las matemáticas que aparte de brindarnos la posibilidad de generar imágenes de una belleza caprichosa y "atractiva", también nos brindan un marco teórico para el desarrollo de otras áreas, por ejemplo: en la simulación de fenómenos naturales como el crecimiento de poblaciones de bacterias, el modelado de objetos como plantas,superficies de terreno, música, arte y compresión de imágenes. Desde hace más de cien años, los matemáticos que se habían encontrado con los fractales los consideraban monstruos de una irregularidad insospechable, pero hoy en día son ampliamente explotados para obtener su mayor beneficio. Una de las aplicaciones que está tomando más fuerza es la compresión fractal en la cual se han obtenido grandesresultados.

CONCEPTO DE FRACTAL
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas. Fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbort en 1975 y deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado.

Un objeto geométrico tiene las siguientes características:
▪ Es demasiado irregular para ser descrito en términosgeométricos tradicionales.
▪ Posee detalle a cualquier escala de observación.
▪ Es autosimilar, propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo

No basta con una sola característica de estas para definir un fractal

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante lageometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

EJEMPLOS DE FRACTAL
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos,algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás:

▪ COPO DE NIEVE DE KOCH
También llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904.

Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados quedasustituido por lo que se llama una curva de Koch. La longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:
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▪ TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
Es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo. El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemáticopolaco Waclack Sierpinski Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. Consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente.

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▪ ALFOMBRA DE SIERPINSKI:
La construcción dela alfombra de Sierpinski se define de forma recursiva:
1. Comenzamos con un cuadrado.
2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central.
3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes.

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▪ EL CONJUNTO DE CANTOR
Este conjunto se considera el precursor de los fractales. Fue descrito porGeorg Cantor en 1983 y posee una serie de notables propiedades métricas. Se trata de un conjunto difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero.

Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres parte, en él se suprime el...