Fractales

Geometría
Geometría es una palabra que proviene del griego y significa “geo”, tierra y “metrein”, medir. Es una rama de la matemática, ella se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del nombre geometría nos describe de manera precisa el objetivo y el trabajo de los primeros geómetras: medir el tamaño de la tierra. En esta ciencia se trabaja con idealizaciones del espacio en que vivimos:puntos, rectas, planos y otros elementos derivados como polígonos y poliedros. Es una herramienta potente y útil para solucionar problemas del mundo real y proporciona justificaciones teóricas a otras ramas de la ciencia como la biología, la geología, la economía y a la tecnología.
Se pueden establecer dos tipos principales de geometría: la euclidiana o clásica y la no euclidiana. Por su parte lageometría euclidiana se basa en definiciones, axiomas y postulados dados por el geómetra griego Euclides (325 AC a 265 AC) en su tratado “Elementos”, en el reunió todo el conocimiento geométrico de la época. Esta es una geometría basada en la intuición y los sentidos. Los conceptos básicos se adaptan a la experiencia sensible, depende del grado de aproximación, la forma y las extensiones que elhombre puede percibir directamente.
Dentro de las geometrías euclidianas se pueden distinguir: la geometría sólida, desarrollada por Arquímedes, que comprende principalmente esferas, cilindros y conos; la trigonometría que es la geometría de los triángulos (planos y esféricos), desarrollada por Hiparco de Nicea; la geometría analítica inventada por René Descartes, que trabaja problemas geométricosen base a un sistema de coordenadas y su transformación a expresiones algebraicas; y el cálculo vectorial, que trata de las cantidades que poseen magnitud y dirección.
Las geometrías no euclidianas comienzan a desarrollarse desde el siglo XIX, cuando algunos matemáticos desarrollan otros tipos de conocimiento para los cuales no se consideran válidos al menos uno de los postulados de Euclides. Eneste tipo de geometría se puede distinguir: la geometría elíptica, que trabaja sobre superficies esféricas y considera que las rectas son cerradas; la geometría hiperbólica, en la que se acepta que por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas; que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos, y la geometría fractal, que trata de estructuras cuya dimensión es mayor quela dimensión topológica.
Los matemáticos pudieron observar que las formas de la naturaleza exceden la capacidad de descripción de la geometría euclidiana y es allí donde la geometría fractal aparece como una nueva manera de explicar el mundo. Esta teoría proporciona elementos que ayudan a describir formas que no son ni circulares, ni cónicas, ni esféricas, que pueden ser las ramas de un árbol, elcontorno de una nube o la longitud de una costa y nos permiten volver, en definitiva al concepto original de la palabra geometría como medición de la tierra.
Por su extensión y complejidad, el estudio de los fractales conforma hoy una nueva disciplina que se comenzó a denominar geometría fractal, que al igual que las otras ramas de la geometría pertenece al área de estudios de la Matemática.
Elpresente trabajo no pretende ser exhaustivo ya que, como dijimos, la geometría fractal es hoy considerada una rama completa de la matemática y no podría reflejarse en un trabajo de esta extensión, pero sí tiene como premisas la precisión y rigurosidad matemática, intentando a su vez conservar la sencillez y la claridad en las explicaciones.
Los objetivos que se proponen en el trabajo quedarándefinidos a partir de poder elucidar las siguientes preguntas.
¿Qué es un fractal?
¿Tiene la geometría fractal alguna aplicación en otras áreas del conocimiento?
¿Es posible establecer alguna relación entre un fractal y un desarrollo matemático?
Una historia real
En 1919 un equipo de topógrafos realizaba estudios en la costa de Bretaña. Observaron que la longitud de un sector de la costa era distinta...