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En teoría de conjuntos y álgebra la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica opropiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos los elementosde una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.

Definición[editar]

Sea K un conjunto dado no vacío y \mathcal{R} una relación binariadefinida sobre K. Se dice que \mathcal{R} es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,
\forallx\in K \; : \quad x \mathcal{R} x .Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,
\forall x,y\in K \; : \quad x\mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x .Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado tambiéncon este último. Es decir,
\forall x,y,z\in K \; : \quad x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z \quad \Rightarrow \quad x \mathcal{R} z .
Notación:
En aritmética modular la relación de equivalenciaentre dos elementos x e y se denota x = y (mod R) que se lee « x es equivalente a y módulo R ».Una relación de equivalencia \sim sobre un cuerpo K puede denotarse con el par (K,\sim)\,.
Clase deequivalencia o Relación de equivalencia[editar]

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia \mathcal{R} define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia:Dado un elemento a\in K, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con a definen la clase:

[a] = \{b\in K\,|\,b\mathcal{R}a\}

se le llama la clase de equivalencia asociada al...