Friccion seca

Interpolación por diferencias divididas de Newton | Software:   |  | Diferencias Divididas |
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El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, , obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos: 

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , la pendiente , que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muyglobal de la primera derivada de , con  variando en el intervalo . 
En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma 

Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando ,  y , se obtiene:

 
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:
 

 Donde  para  En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores ,  y . 

A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos , ,  y . El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:
 

 
Se concluye entonces que

Práctica 5.2. Problema resuelto deregresión lineal múltiple.
Problema 5. 4. “Una persona desea estimar los gastos en alimentación de una familia  en base a la información que proporcionan las variables regresoras X1=“ingresos mensuales” y X2 =“número de miembros de la familia”. Para ello se recoge una muestra aleatoria simple de 15 familias cuyos resultados son los de la tabla adjunta 
(El gasto e ingreso está dado en cientos demiles de pesetas)”
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Gasto | Ingreso | Tamaño | Gasto | Ingreso | Tamaño |
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0'43 | 2'1 | 3 | 1'29 | 8'9 | 3 |
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0'31 | 1'1 | 4 | 0'35 | 2'4 | 2 |
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0'32 | 0'9 | 5 | 0'35 | 1'2 | 4 |
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0'46 | 1'6 | 4 | 0'78 | 4'7 | 3 |
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1'25 | 6'2 | 4 | 0'43 | 3'5 | 2 |
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0'44 |2'3 | 3 | 0'47 | 2'9 | 3 |
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0'52 | 1'8 | 6 | 0'38 | 1'4 | 4 |
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0'29 | 1'0 | 5 | | | |
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Datos del problema [ASCII] [spss-10] [sgplus-5]
Solución Problema 5.4.
Los datos en forma matricial:

Con estos datos se obtiene

Por tanto

De donde

El modelo de regresión lineal que se obtiene es:

A partir deesta ecuación se obtienen las predicciones y los residuos asociados a las observaciones muestrales. Para la primera observación  se obtiene

Razonando así en todos los puntos muestrales se obtiene

Calculo de scR

También se puede calcular la scR de la siguiente forma
t | = tY -tXtY =  yi2 - 0  yi - 1  yix1i - 2  yix2i = |
| = 5'7733 - . 8'070 - 0'149 . 32'063 - 0'077 . 28'960 |
Secalculan los intervalos de confianza de los parámetros del modelo al 90%,
| Para la varianza, 2 | ~ 122 |
5'2253 | < < 21'0298 |
0'0034 | < 2 < 0'0138 |
|
| La varianza de los estimadores del modelo esde donde se deduce que V ar | = 0'00816   = 0'0903 |
V ar | = 0'000099   = 0'0099 |
V ar | = 0'00040   = 0'0201 |
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| Intervalo de confianza para 0 t12 . 0'0903 |<-0'160 -  0 < t12 . 0'0903 |
- 0'321 | <  0 < 0'001 |
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| Intervalo de confianza para 1 (ingreso) t12 . 0'0099 | < 0'149 -  1 < t12 . 0'0099 |
0'1314 | <  1 < 0'1666 |
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| Contrate H0  1 = 0, “la variable ingreso no influye” (contraste individual de la t)  |
| Intervalo de confianza para 2 (tamaño) t12 . 0'0201 | < 0'077 -  2 < t12 . 0'0201 |
0'0412 |<  2 < 0'1128 |
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| Contrate H0  2 = 0, “la variable tamaño no influye” (contraste individual de la t)  |
| Tabla Anova,de donde Tabla ANOVA Fuentes de | Suma de | Grados de | Varianzas |
Variación | Cuadrados | libertad | |
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scE (por el modelo) | 1'3595 | 2 |  e2 = 0'6797 |
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scR (Residual) | 0'0721 | 12 |  R2 = 0'0060 |
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scG (Global) |...