Fridman Y Modigliani

“Programación Lineal”
A pesar de que la programación lineal se empezó a estudiar desde finales del S.XIX no fue hasta mediados del presente siglo en que tuvo auge como técnica matemática aplicable a los problemas de la empresa.
El Dr. G. Damtzing desarrolló el método simplex y con ello hizo posible la solución de grandes problemas modelados con programación lineal que solo quedaban en lasituación de estudios. Paralelamente a la invención de este método a partir de mediados del siglo se desarrollo la computación digital y se pudo tener resultados óptimos a los problemas estudiados que se quedaron como modelos.
La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada mas actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación.
Loque se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima. Esto significa la búsqueda de un valor máximo cuando se trata de beneficios; o bien la búsqueda de un mínimo cuando setrata de esfuerzos a desarrollar.
Un modelo de programación lineal es un conjunto de expresiones matemáticas las cuales deben cumplir la característica de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado. Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:
* Proporcionalidad
* Aditividad (adición)
* Divisibilidad
* Certidumbre(certeza)Antes de formular un modelo general para P.L conviene ilustrar algunos ejemplos que faciliten la interpretación de la generalización
Ejemplo de producción:
Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de producción que tenían sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas máquina que se pueden utilizar en los productosdenominados 1,2,3 de la siguiente manera:
Máquina Horas por pieza de producto Horas Maq. Disponibles
1 2 3 por semana
Fresadora 9 3 5 500
Torno 5 4 - 350
Rectificadora 3 - 2 150
Utilidad
$/ pieza 50 20 25
Recomendación del Mínimo Mínimo Mínimo
Depto. Vtas a Prod. 30 15 20
Formular un modelo de P.L para este problema
* Definición de variables a utilizar en el método de programación lineal
Sea:Xj = numero de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad.
* Función económica y objetivo:
MAX Z= 50X1 + 20X2 + 25X3 [ (Dls/Unidad) (Unidad/Sem)] = [Dls/Sem.]
sujeta a restricciones de horas máquina disponibles por semana
Fresadora : 9X1 + 3X2 + 5X3 * 500 horas máquina fresadora
Torno: 5X1 + 4X2 * 350 horas máquina torno
Rectificadora: 3X1 + 2X3 * 150 horasmaquina rectificadora
Condiciones de signos pare las variables:
X1 * 30 piezas
X2 * 15 piezas
X3 * 20 piezas
Ejemplo de inversión:
Se desean invertir 2 millones de dólares en 6 tipos de inversión cuyas características son las siguientes:
Tipo de Interés Factor de Plazo promedio
Inversión Anual(%) Riesgo de inversión
1 8.5 0.02 8
2 9 0.01 2
3 8.5 0.38 5
4 14.3 0.45 6
5 6.7 0.07 2
6 13 0.354
El factor de riesgo significa la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un período promedio ponderado de inversión de ciando menos 5 años; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohibe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del total de la inversión. Con P.L formule un modelode P.L para decidir cómo invertir para maximizar el rendimiento de los 2 millones de dólares.
(SOL. A)
* Definición de variables
Sea: Xj = cantidad de dólares a invertir en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para maximizar el rendimiento.
* Función objetivo
MAX Z= 0.085X1 + 0.09X2 + 0.85X3 + 0.143X4 + 0.067X5 +0.13X6
sujeta a restricciones:
1) X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 2,000.000 dls.
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