Fuerza de restitución para un péndulo en geometria

La razón es que para ángulos pequeños el péndulo se comporta "casi" como si fuera un oscilador armónico simple, lo que simplifica enormemente los cálculos.

En estas condiciones, el periodo deoscilación del péndulo, T, depende sólamente de la raiz cuadrada de la longitud de la cuerda, así que:

1 - Si la longitud aumenta al doble, el periodo aumentará en raiz (2) = 1,41, es decir:

T'(cuerda doble) = 1,41*T

2 - Y si la cuerda se reduce a la mitad, es decir si L se divide por dos, entonces el periodo se dividirá entre raiz (2), es decir:

T" (cuerda mitad) = T /1,41EXPLICACIÓN:

Cuando el péndulo se encuentra desviado un ángulo, A, el peso, P, se descompone en dos componentes perpendiculares uno en la dirección de la cuerda, Pl, que se anula con la tensión, y otro normala éste, Pn, que es el empuja al móvil a girar hacia la posición de equilibrio

Por la geometria de la figura, se cumple:

Pl = P * cos A = m * g * cos A
Pn = P * sen A = m * g * sen A

Ytambién, de la geometría de la figura, se deduce que Pn tiene dos componentes:

1 - Una horizontal, que es la fuerza de "restitución", fr, que que empuja al móvil horizontalmente hacia el eje, y lo haceoscilar de derecha a izquierda.

2 - Otra vertical, fv, que lo empuja hacia abajo y lo hace oscilar de arriba a abajo.

Dichos componentes valen:

fr = - Pn * cos A = - m * g * sen A * cos A
fv= - Pn * sen A = - m * g * sen A * sen A

(signo menos por que van a la izquierda y abajo respectivamente para un sen A positivo)

Finalmente, de la geometría de la figura tambien se deduce que:sen A = x / L,

Y sustituyendo en la fórmula de fr:

fr = - m * g * sen A * cos A =>
fr = - m * g * (x/L) * cos A =>

fr = - m*g/L * x * cos A

Y teniendo en cuenta que m*g/L es unaconstante, esta expresión es casi igual a la de la fuerza en el MAS, (f = - k * x), excepto en el factor cos A que es variable.

Pero si el ángulo de oscilación es muy pequeño, cos A es prácticamente...