Función creciente y decreciente. máximos y mínimos de una función. criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. concavidades y puntos de inflexión.

5.3. Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

5.3. Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio dela segunda derivada para máximos y mínimos.

Funciones Creciente y Decreciente.

Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye ((x), decimos que la función decrece.

Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ((x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo[pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada. Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos ymínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

Estrategias para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente:

Sea f continua en el intervalo (a, b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales f es creciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Localizar los números críticos de f en (a, b), yutilizarlos para determinar intervalos de prueba.

2. Determinar el signo de f '(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.

3. Recurrir al teorema mencionado al inicio para determinar si f es creciente o decreciente para cada intervalo.

EJEMPLO: Determine los intervalos abiertos sobre los cuales [pic]es creciente o decreciente.

Solución: Nótese que f es derivable en todala recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, igualar a cero f '(x).
Escribir la función original: [pic]
Derivar e igualar f '(x) a cero: [pic]
[pic]
Factorizar: (3x)(x - 1) = 0
Resolver: x = 0 x - 1 = 0 ó x = 1

|Intervalo |-∞ < x < 0 |0 < x < 1|1 < x < ∞ |
|Valor de prueba |x = -1 |x = 0.5 |x = 2 |
|Signo de f '(x) |f '(-1) =6 > 0 |f '(0.5) = -0.75 < 0 |f '(2) = 6 > 0 |
|Conclusión |Creciente |Decreciente|Creciente |

Máximos y Mínimos (Criterio de la Primera Derivada).

|Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a < c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( |
|c) no existe). |
|Entonces:|
|Si [pic]para todo x en (a, c) y [pic]para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un máximo relativo. (fig. (a), fig. (b)). |
|Si [pic]para todo x en (a, c) y [pic]para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mínimo relativo. (fig. (d), fig. (e))....