Función compuesta

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  • Publicado : 10 de mayo de 2011
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En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, yal resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se definela función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
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A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra nosiguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

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EJEMPLO. Sean las funciones:
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La función compuesta de g y de f queexpresamos:
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La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso
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y después aplicamos f a zpara obtener
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Función bien definida
La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:
1. Condición deexistencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) )está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x)también lo es el de g( f(x)).

Propiedades
• La composición de funciones es asociativa, es decir:
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• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:
[pic]Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
• La inversa de la composición de dos funciones es:
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BIBLIOGRAFIA:...
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