Función cuadrática

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* FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son las funciones de la forma: f(x)= a .x 2+ b. x + c. Dom f:
Su gráfico es una curva llamada parábola.
* Se llama a al término cuadrático,
* b al término lineal y
* c al término independiente

*
*

*
SIGNO Y VALOR ABSOLUTO DE A
a>0
|a1|>|a2|

a>0
|a1|>|a2|

Int. Decreciente
Int. Creciente
)
(

Int. CrecienteInt. Decreciente
)
(
)
(

Int. decrecimiento

DESPLAZAMIENTO DE F(X)= AX 2
Si trasladas el gráfico de f(x)= x2 p unidad hacia la derecha, y k unidades hacia arriba obtienes el gráfico de la función: g (x)=a (x - p)2  + k, siendo su vértice el punto: V = (p; k)
Ejemplo: La siguiente gráfica corresponde al desplazamiento de la función f(x)= x2, 4.58 unidades hacia la derecha y 3.92unidades hacia arriba, su fórmula es f(x)= (x – 4.58)2 + 3.92

RAÍCES O CEROS DE LA FUNCIÓN
Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Para hallarlas, si es que existen, en la fórmula de la función se reemplaza la variable y por 0 y se resuelve la ecuación.
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Todas pueden resolverse aplicando la fórmula (primero se reducen a la forma a.x 2+ b. x + c = 0 realizando todas las operaciones posibles):

* Si la ecuación no tiene término lineal (b = 0), se despeja directamente la incógnita.
* Si la ecuación no tiene término independiente (c = 0), se extrae factor común x. En este caso, x =0 es siempre una de las soluciones. La otra se obtiene igualando a 0 el otro factor.
CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO
SE CALCULA | SE MARCAEN EL GRÁFICO |
Se aplica la fórmula resolvente y se obtienen las raíces x1 y x2 | Si las raíces son reales se marcan los puntos de contacto con el eje x en x1 y x2 |
Coordenadas del vértice :xv = (x1 + x2 ) /2 o xv = -b /2a yx = f(xv ) - Se reemplaza en la función x por xv - | Vértice : V ( xv ; yv)Eje desimetría: recta vertical que pasa por xv (se marca con línea punteada). |
Ordenada al origen : (0 ; c) | Punto de contacto con el eje y. Se aprovecha el eje de simetría para obtener puntos simétricos. |
*
*
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Análisis Completo
Conjunto Imagen
En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞).Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv].
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son decrecientes.
Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ∞) , y decreciente en el intervalo (-∞;xv).
Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞;xv) , ydecreciente en el intervalo (xv;- ∞).
Conjunto de Positividad y Negatividad
Las raíces reales de una función, si es que existen, nos permitirán determinar los intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es negativa.
Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es positiva, es decir, dondef(x)>0.
Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0.
Máximo o mínimo
Si a>0 la ordenada del vértice (yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lo toma en xv.
Si a< 0 la ordenada del vértice (yv) es el valor máximo que alcanza la función, lo toma en xv.
Se le llamaextremo.
Ejemplo: Dada la función f(x)= x2 +x - 3.75






DISCRIMINANTE - TIPO DE SOLUCIONES
* > 0 Dos raíces reales distintas
= 0 Una raíz real doble
< 0 No tiene raíces reales, es decir, la gráfica no corta al eje x, las raíces son números complejos conjugados

* = b 2 - 4 a c...
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