funcion cuadratica

FUNCIONES CUADRÁTICAS




ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN



Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.

Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:. La anchura del camino ha de serconstante en todo el contorno.

Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.

Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).

Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.

¿Para qué valor de x es A = 100?


Actividad resueltaEl director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:


euros descuento
0
1
2
x

Precio
30
30-1
30-2
30-x

Nº espectadores
500
500+100.1
500+100.2
500+ 100xIngresos
30.500
(30-1)·(500+100.1)
(30-2)·(500+100.2)
(30-x)·(500+100.x)



Los ingresos obtenidos son



siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .


Las funcionesf(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.


Gráfica de las funciones cuadráticas


La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:



x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9



Esta curva simétrica se llama parábola.Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:




Actividades resueltas




Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:




a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como Aes un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c. El punto C(x,y) está situado sobre eleje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en laecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h. Calculamos las...