Funcion cuadratica

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Función Cuadrática FUNCION CUADRATICA

Prof. Marvin Montiel Araya

Se llama función cuadrática a una función poli nómica real de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma: f(x)=ax2 + bx + c, a ≠ 0 Ejemplos:

f ( x) = x 2 + 3x + 2 f ( x) = 3 x 2 + x − 5 3 7 9 f ( x) = x 2 + x − 5 3 4

f ( x) = − x 2 + 3

f ( x) = x 2

El dominio de toda función cuadráticaes el conjunto de los números reales, decir que Df = IR REPRESENTACIÓN GRAFICA La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y. Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:
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6

4

2

-5

5

10

-2

Esta parábola se abre hacia abajo sia< 0, y se dice que es cóncava hacia abajo. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = – x2 + 2x +5 es:
6

4

2

-5

5

10

-2

-4

Aunque existen muchas técnicas especiales y métodos abreviados para graficar estas funciones, veremos un método práctico y directo, que consiste en determinar ciertos pares ordenados de la función cuadráticas claves para su gráfica. A continuacióndeterminaremos esos pares ordenados para la función es importante tener claro que para esta función a =1, b = -6, c = 5. f(x)= x2 - 6x +5,

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Función Cuadrática EJE DE SIMETRIA

Prof. Marvin Montiel Araya

La curva llamada parábola que corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibeel nombre de eje de simetría y esta dado por x =

−b . 2a

Para f(x)= x2 - 6x +5, el eje de simetría corresponde a El eje de simetría para f(x)= x2 - 6x +5, corresponde a x = 3 EL VERTICE

x=

− ( −6 ) 6 = =3 2 2 ⋅1

Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia abajo el vértice será el punto máximo de la gráfica; si es cóncava hacia arriba será el punto mínimo. Elvértice es un par ordenado donde x es el eje de simetría, y y se obtiene evaluando la ecuación con el eje de simetría. Ejemplo: Como en nuestro ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, su gráfica es cóncava hacia arriba, ya que a> 0, su vértice es el punto mínimo. Dado que ya habíamos determinado que el eje de simetría, para el vértice x = 3, además el valor de y, se obtiene evaluando la función con 3. Entoncesy = (3)2 - 6(3) +5 y = 9 – 18 + 5 y = -4 Por lo tanto el vértice corresponde al par ordenado (3, - 4) INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La intersección con el eje de las ordenadas, corresponde al termino independiente de la ecuación f(x)= ax2 + bx + c, o sea corresponde a c. Por lo tanto la intersección con el eje y corresponde al par (0 , c ). En el ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, la intersección correspondeal par (0, 5). INTERSECCION CON EL EJE X Sabemos que la intersección con el eje x, corresponde a un par ordenado donde “y” es cero. Por lo anterior y=0, además y= ax2 + bx + c entonces podemos encontrarla intersección de está parábola con el eje de las abscisas resolviendo la ecuación: ax2 +bx + c = 0 El trinomio ax2 + bx + c es de segundo grado, tendrá a lo sumo dos ceros, es decir tendrá comomáximo dos soluciones o raíces. Para saber el número de raíces reales que puede tener un trinomio cuadrático haremos uso de la formula llama discriminante, y se llama así por que nos permite discriminar cuantas soluciones reales tiene: ∆ = b2 – 4 ac

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Función Cuadrática El estudio de discriminante nos dará el siguiente resultado:

Prof. Marvin Montiel Araya

1) Si ∆>0entonces ax2 +bx + c = 0 tiene dos soluciones reales, la gráfica interseca dos veces el eje x. 2) Si ∆=0 entonces ax2 +bx + c = 0 tiene una sola solución real, la gráfica interseca una sola vez el eje x. 2) Si ∆ 0, por lo que es cóncava hacia arriba, además el eje de simetría es x = 3 ya que x =

− ( −6 ) 2 ⋅1

x= 3. Sabiendo que el dominio de la función cuadrática es de -∞ a + ∞, todo IR,...
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