Funcion Cuadratica

Función Cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

Con:
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando , el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, laparábola se abre "hacia arriba"), y cuando el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").
El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es unafamilia de funciones cúbicas.




Raíces de la Función Cuadrática

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de , para los cuales . Son denotadas habitualmente como: dependiendo del valor del discriminante  definido como:
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, :



Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

Unasolución real(o solución doble) si el discriminante es cero, :

La parábola es tangente al eje X.
La parábola no corta al eje X.

El único caso restante es que el discriminante sea negativo .

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:







Representación analítica:

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se lequiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Con:

Forma factorizada
Toda función cuadrática se puedeescribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo el coeficiente principal de la función, y las raíces de .
En el caso de que el discriminante sea igual a entonces por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es . Si el discriminante es negativa, las soluciones son complejas, no cabe lafactorización.

Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado las coordenadas del vértice de la parábola.




Representación gráfica:

Intersección con el eje Y
La función corta el eje y en el punto , es decir, la parábola corta el eje Y cuando vale cero:

Lo que resulta:

La funcióncorta el eje y en el punto , siendo el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje X
La función corta al eje X cuando vale 0, dada la función:

Es decir:

Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como essabido, por la expresión:

Si la función no corta al eje X, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremo
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Dada lafunción en su forma desarrollada: la coordenada X del vértice será simplemente: La coordenada Y del vértice corresponde a la función evaluada en ese punto.
Dada la forma canónica:, las coordenadas explícitas del vértice son:
La derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función...