Funcion inversa

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Función inversa
            Definición: se define que una función f es una función uno a uno,  si y solo si cada elemento del rango de f está asociado con exactamente a un elemento de su dominio x. En general, una función f es uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio.
             Es precisamente esta propiedad la que se requiere paraque la “regla de inversión” sea una función. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de una función, determinar si la función dada es uno a uno.
             Gráficamente una función es uno a uno si solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica mas de una vez.
Definición
            Sea f una función uno a uno, con dominio X y recorrido Y. La inversa de f  es una función g condominio Y y recorrido X; para lo cual:
  f(g(x)) para cada x en Y
g(f(x))   para cada y en X
Es decir:
f(f -1(x))= x
f -1(f(x)) = x

O sea, a la función inversa de f, se le llama  f -1, y se cumple que: 
Si f(a)=b ------------------------->   f -1(b)=a
Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:
(f -1 º f)(x)=x                    (f º f -1)(x)=x
Método para hallar f -1, parauna función uno a uno.
1.      Desarrolle la composición de f y f -1, esto es  f(f -1(x)).
2.      Desarrolle la ecuación   f(f -1(x)) = x.
3.      Resuelva la ecuación   f(f -1(x))= x., despejando f –1(x).

Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuandola función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar tal circunstancia (del mismo modo que nos pasaba cuando queríamos determinar si un determinado conjunto era o no función).
La representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Bastaobservar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.
EJEMPLOS:
La función f definida por y=2x-3, es decir, f = { (x,y) / y=2x-3 } = { (x, 2x-3) } tiene inversa y su inversa será f-1 = { (y, x) / y=2x-3 } = { (x, y) / x=2y-3 } = { (2x-3, x) }
La función g definida por y=x2-2x-2, es decir, g = { (x, y) / y=x2-2x-2 } = { (x, x2-2x-2) } no tiene inversa. Por ejemplo, los pares (0, -2) y (2, -2) pertenecen a g y por lo tanto, g no es inyectiva.
La siguiente escena presenta ambos ejemplos. La función f o gaparecerá en azul y el conjunto de pares invertidos en rosa. Un control que se mueve a través de las funciones nos va mostrando un par de la función y otro punto nos presenta el correspondiente par invertido. Se podrá observar también en la escena una recta, la bisectriz del primer y tercer cuadrante (la recta de ecuación y=x). Observar que las gráficas de una función y de su conjunto de paresinvertidos son simétricas respecto de dicha recta.
Problemas de Aplicación:
 f (x) = 3x x= 3y f -1 (x) =
 f (x) = 3x -1
x = 3y -1 f -1 (x) =
 f (x) = x3 x = y3 f -1 (x) =
 f(x) =x2 -2 x = y 2 -2 f -1 (x) =
 f(x) = x 4 x = y 4 f -1 (x) =
 f(x) = 8 - 3x x =8 - 3y f -1 (x) =
 f(x) = x3 - 1 x = y3 -1 f -1 (x) =
8. f(x) =
x =
f -1 (x) = x 2
9. f (x) = 2 - x 3 x = 2 - y 3f -1 (x) =
10. f (x) =
x =
f -1 (x) = x 2 -3
11.f (x) =
x =
f -1 (x) = x2 -2 + 3
12. f (x) = 5x -7 x = 5y - 7 f -1 (x) =
Derivada de la función inversa
Si una función y = f(x) admite una función
inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable
en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0).
En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser...
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