Funcion Lineal

I. RELACIONES Y FUNCIONES
PAREJAS ORDENADAS
Una pareja ordenada se compone de dos elementos “ x ” y “ y ”, escribiéndose ( x, y ) donde
“ x ” es el primer elemento y “ y ” el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
ordenadas ( x, y ) y ( z , w ) serán iguales si x = z y y = w .

1.1. PRODUCTO CARTESIANO
Definición:
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (se simboliza AxB ) esel conjunto de todas
las parejas ordenadas ( x, y ) , tales que “ x ” pertenece al primer conjunto A y “ y ” pertenece
al segundo conjunto B , es decir: AxB = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B}

Nota: Se da por hecho, que el estudiante recuerda el conjunto de los números reales

()

y

su representación sobre una línea recta, así como los intervalos de números reales:

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EJEMPLOS
1
1) Conlos conjuntos A = { ,2,3} y B = {a, b} , obtener los productos cartesianos AxB y BxA

Solución
Si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 2 elementos,
entonces el producto cartesiano AxB y el BxA tendrán 3 x 2 = 6 elementos
(parejas ordenadas).
AxB = {(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2, b ), (3, a ), (3, b )}
BxA = {(a,1), (a,2 ), (a,3), (b,1), (b,2 ), (b,3)}

Véase que AxB ≠ BxA, esto es, el producto cartesiano no es conmutativo
2) Sean los intervalos abiertos A = (1,3) y B = (2,4 ) subconjuntos de
productos cartesianos AxB y BxA .

, obtener los

Solución
En este caso el conjunto A = (1,3) , corresponde al intervalo abierto de todos los números
reales comprendidos entre 1 y 3, y el conjunto B = (2,4 ) , corresponde también al intervalo
abierto de todos losnúmeros reales entre 2 y 4, por consiguiente, AxB y BxA tendrán un
número infinito de elementos (parejas ordenadas) y sólo los representaremos gráficamente
como se muestra a continuación, representando los elementos del primer conjunto sobre el
eje horizontal y los del segundo sobre el eje vertical.

Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la región querepresenta AxB y BxA , por ser intervalos abiertos de números reales, que no incluyen los
extremos del intervalo tanto el conjunto A como el B .
3) Sean A = [− 2,3) y B = [2,4] subconjuntos de
BxA
Solución

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, obtener el producto cartesiano AxB y

En los intervalos A = [− 2,3) y B = [2,4] , el corchete indica que se debe incluir el extremo de
dicho intervalo, por lo que en las gráficasque indican este producto cartesiano, si se incluye
la frontera donde es cerrado dicho intervalo, como se muestra a continuación:

4) Para A = { x ∈
BxA

/1 < x < 5} y B = { y ∈

/ − 1 < y ≤ 2} , obtener el producto cartesiano AxB y

Solución
El conjunto A y B es otra forma de representar a los intervalos de estos conjuntos de
números reales, lo cual es A = { x ∈ /1 < x < 5} = (1,5 ) y B= { y ∈ / − 1 < y ≤ 2} = ( −1, 2] .

5) El producto cartesiano x genera todo el plano cartesiano, donde cada punto “ P ” del
plano representa un par ordenado ( x, y ) de números reales, trazando una recta vertical por
el punto “ P ” hasta cortar al eje horizontal en “ x ” y una recta horizontal por “ P ” hasta cortar
al eje vertical en “ y ”.
Solución

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EJERCICIOS
1) Sea A = {−2,0,3,7} y B = {1, 2,3} , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y dibujar su
gráfica.
2) Sea T = {1, 2,3, 4,5} y S = {1, 2} , obtener el producto cartesiano TxS y SxT y graficarlos.
3) Con A = [− 1,2 ) y B = (− 3,2 ) subconjuntos de
BxA y graficarlos.
4) Si K = { x ∈

/ − 3 ≤ x < 1} y J = { y ∈

, obtener el producto cartesiano AxB y

/1.5 < y < 5.5} , obtener el producto cartesiano KxJy

JxK .

5) Con

y A = [2,4] , obtener

xA y Ax .

1.2. RELACIONES
Variable es costumbre representarla mediante alguna de las últimas letras del alfabeto, con
la característica de que puede sustituirse en su lugar cualquier número real.
Constante es un valor real que permanece fijo en cualquier problema de aplicación
matemática.
Definición:
Una relación en los reales es una...