Funcion primitiva

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1.7funcion primitiva
una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original
ej:
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.
Función Primitiva: Relacióndependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).
F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, noes el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de laintegral:
Aquí están las principales funciones primitivas:
Función F: primitiva de f función f: derivada de F
Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique unacondición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.
Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida.Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:
Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es suintegral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.
La relación de Chasles:
cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia:
Lasegunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y talproducto cambia de signo si un vector lo hace.
Otras propiedades
Las primitivas de una función impar es siempre par.
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.
Laprimitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:
Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.
La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica
Para probarlo,...
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