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UNIDAD 2

ECUACIONES LINEALES

Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

La teoría de las ecuaciones lineales juega un papel importante y motivador en el ámbito del álgebra lineal. De hecho, muchos problemas de álgebra lineal son equivalentes al estudio de un sistema de ecuaciones lineales, como hallar el núcleo de una aplicación lineal o caracterizar el subespacio generado porun conjunto de vectores. Por ello, las técnicas introducidas en este capitulo serán aplicables al tratamiento mas abstracto dado posteriormente. Por otra parte, algunos de los resultados del tratamiento abstracto arrojaran nueva luz sobre la estructura de los sistemas de ecuaciones lineales.
Este capitulo investiga sistemas de ecuaciones lineales y describe detalladamente el algoritmo deeliminación gaussiano, que se utiliza para hallar la solución, aunque serán estudiadas en la unidad 3, las matrices, junto con ciertas operaciones entre ellas, se introducen también aquí puesto que están estrechamente relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales y su solución.
Todas las ecuaciones involucraran números específicos denominados constantes o escalares. Para simplificar,en este capitulo asumimos que todos nuestros escalares pertenecen al cuerpo de los números reales R. las soluciones de las ecuaciones también involucraran n-plas u = (k1, k2,…,kn) de números reales llamados vectores. El conjunto de tales n-plas se denota por Rn.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Por una ecuación lineal con incógnitas x1, x2,…., xnentendemos una ecuación que puede escribirse en la forma convencional:
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
Donde a1, a2, … , an, b son constantes. La constante ak se denomina el coeficiente de xk y b se denomina la constante de la ecuación.
La solución de la ecuación lineal anterior es un conjunto de valores de las incógnitas, digamos x1 = k1, x2 = k2, …, xn = kn, o simplemente unan-pla u = (k1, k2, …, kn) de constantes, con una propiedad de que es cierta la siguiente expresión ( obtenida sustituyendo cada xi por ki en la ecuación):
a1k1 + a2k2 + … + ankn = b
Se dice entonces que este conjunto de valores satisface la ecuación.
El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución, solución general o simplemente, la solución de la ecuación.Nota: las nociones anteriores presuponen implícitamente que existe un orden entre las incógnitas. Con el fin de evitar los subíndices, normalmente utilizaremos variables x, y, z para denotar tres incógnitas, x, y, z, t para denotar cuatro incógnitas y x, y, z, s, t para denotar cinco incógnitas, considerándolas ordenadas.

Ejemplo 2.1
a) La ecuación 2x – 5y + 3xz = 4 no eslineal, por que el producto de dos incógnitas es de segundo grado
b) La ecuación x + 2y – 4z + t = 3 es lineal en las cuatro incógnitas x, y, z, t.
La 4-pla u = (3, 2, 1, 0) es una solución de la ecuación por que
3 + 2(2) – 4(1) + 0 = 3 o 3 = 3
es una expresión cierta. Sin embargo, la 4-pla v = (1, 2, 3,4) no es una solución de la ecuación por que:
1 + 2(2)– 4(3) + 4 = 3 o -3 = 3
no es cierto.

Ecuaciones lineales con una incógnita
Ejemplo 2.2
a) Resolvamos 4x – 1 = x + 6
[pic]
b) Resolvamos 2x – 5 – x = x +3
[pic]
La ecuación no tiene solución
c) Resolvamos 4 + x – 3 = 2x + 1 – x
[pic]
d) Resolvamos [pic]
[pic] Para eliminar el 5 multiplicamos todo por 5[pic]

Interpretación geométrica de las soluciones.
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Esta sección considera el caso especial de s ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, esto es, ecuaciones que se pueden escribir en la forma convencional
ax + by = c
donde a, b y c son números reales. (Supondremos también que la ecuación es no degenerada, esto es que a...
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