Funciones algebraicas

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Funciones algebraicas
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
En términos másprecisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia:

La misma determina y, excepto por su signo:

Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.
Una función algebraica de n variables es definida en forma similar ala función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:

Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.
Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,...,xn). Parapoder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces.
f. polimonial
Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuenciase usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.
Si una función f está definida por donde son números reales y n es un entero no negativo.

f. racional
una funciónracional es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar losresultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
Propiedades
• Toda función racional es de clase en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
• Todas las funciones racionales tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Ejemplo
• Aquíse muestra un ejemplo de una función racional, f(x). Note que el numerador y denominador pueden ser polinomios de cualquier orden, pero la función racional es indefinida cuando el denominador es cero.
• f(x) =
x2−4
2x2+x−3
f(x) =
(x+2) (x−2)
(2x+3) (x−1)
(2) Así, las raíces para esta función son las siguientes:
Las raíces del numerador son: {-2,2}
Las raíces del denominador son:{-3,1}
F. irracional
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.
Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).
Analizar yrepresentar la gráfica de la función irracional

1. Dominio:
No está definida para x2-10 y para x £ -1, f(x)1, f'(x) 0 y f''(0+h)0 y arbitrariamente pequeño.
La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

f. trascendentes
Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su...
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