Funciones algebraicas

CAPÍTULO

2
Funciones

1

2.3 Álgebra de funciones
Para las funciones reales, el álgebra de los números reales induce un álgebra entre las funciones: Nota: D quiere decir que “así se define", que “es igual por definición a". .f C g/.x/ D f .x/ C g.x/I .f .f g/.x/ D f .x/
def def def def

g.x/I

g/.x/ D f .x/ g.x/I f def f .x/ .x/ D : g g.x/ Df Dg

El dominio detodas estas funciones es con excepción del cociente, en el que a Df x 2 Dg tales que g.x/ D 0. Ejemplo 2.3.1 Dadas las funciones p f .u/ D 25 obtener: 1. .f C g/.3/, .gh/.3/, .f
1

Dg hay que quitarle las raíces o ceros de g, esto es, los

u2 ;

g.t/ D g f

p

t C1

&

h.w/ D w 2

4

h/.3/ &

.3/.

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2 2. .f g/.x/, .fh/.x/, f h .x/, .g C f /.x/ & g f .x/.

Cálculo Diferencial e Integral I

3. Los dominios de las funciones: f , g & h. 4. Los dominios de las funciones: f H 1. Ya que f .3/ D p .3/2 D 25 p p g.3/ D 3 C 1 D 4 D 2I 25 h.3/ D 32 4D9 9D p 16 D 4I g, f h, f g ,gCf & . h f

4 D 5; entonces

2. Ya que f .x/ D

p

25

.f C g/.3/ D f .3/ C g.3/ D 4 C 2 D 6I .gh/.3/ D g.3/h.3/ D 2 5 D 10I .f h/.3/ D f .3/ h.3/ D 4 5 D 1I g.3/ 2 1 g .3/ D D D : f f .3/ 4 2 p x 2 , g.x/ D x C 1 y h.x/ D x 2 4, entonces p p x C 1I .f g/.x/ D f .x/ g.x/ D 25 x 2 p 2 .f h/.x/ D f .x/h.x/ D 25 x 2 .x 4/I p f f .x/ 25 x 2 .x/ D D I h h.x/ x2 4 p p .g C f /.x/ D g.x/ C f .x/ D x C 1 C 25 x 2 I p g g.x/ xC1 .x/ D Dp : f f .x/ 25 x 2 p

3. El dominio de la función f es DfD D D D Dg D D Dh D 2 u 2 R f .u/ 2 R D u2 R 25 u2 2 R D

u 2 R 25 u2 0 D u 2 R u2 Ä 25 D p p u2 R u2 Ä 25 D u 2 R j u j Ä 5 D u2 R 5ÄuÄ5 D D D D Œ 5; 5 : t2 R p t C12 R 1 D

El dominio de la función g es t 2 R g.t/ 2 R t 2 R t C1 0

t2 R t w 2 R w2

D Π1; C1/ : 42 R D R:

El dominio de la función h es w 2 R h.w/ 2 R

2.3 Álgebra de funciones 4. El dominio de lafunción f Df
g

3 g es D Df
¡

Dg D Œ 5; 5
£

Œ 1; C1/ D Œ 1; 5 :
¥

5

1

5

El dominio de la función f h es Df h D Df El dominio de la función D f D .Df \ Dh /
h

Dh D Œ 5; 5

R D Œ 5; 5 :

f es h w 2 R h.w/ D 0 D

D .Œ 5; 5 \ R / w 2 R w 2 4 D 0 D Œ 5; 5 D Œ 5; 5 f 2; 2 g D Œ 5; 2/ [ . 2; 2/ [ .2; 5 :

El dominio de la función g C f esDgCf D Dg Df D Œ 1; C1/ Œ 5; 5 D Œ 1; 5 :
g.

Este resultado es claro, pues DgCf D Dg \ Df D Df \ Dg D Df g El dominio de la función es f
g D f D .Dg \ Df /

D Œ 1; 5 D Œ 1; 5

u 2 R 25 u2 D 0 f 5; 5 g D Π1; 5/ :

u 2 R f .u/ D 0

D Œ 1; 5 D Œ 1; 5

u 2 R u2 D 25

Ejercicios 2.3.1 Soluciones en la página 5 Dadas las funciones f .t/ D t 2 1. .f C g/ .5/. 2..gf / . 3/. 3. h f .2/. Â Ã 1 f/ . 2 9; g.y/ D p 2y C 15 & h.z/ D p 10 3z obtener:

5. .gh/ .4/. 6. f g . 8/.

7. .g C h/ .x/. 8. g f .x/. 3

4. .g

¤

¢

 

w 2 R w2 D 4

D

u2 R

p 25

u2 D 0 D

D

4 9. .f h/ .x/. 10. .h 11. 12. h f fg h f / .x/. g .x/.

Cálculo Diferencial e Integral I 15. El dominio de la función: g . f

16. El dominio de lafunción: f h. 17. El dominio de la función: h 18. El dominio de la función: h . g fg . h gCh . gh f.

.x/. 19. El dominio de la función: 20. El dominio de la función:

13. Los dominios de las funciones f; g & h. 14. El dominio de la función: g C h.

2.3 Álgebra de funciones

5

Ejercicios 2.3.1 Álgebra de funciones, página 3 1. 21 : 2. 0 : 3. 2 : 5 14. 15. 16. 17.18. 19. 20. 15 ; C1 , Dh 2

13. Df

D 1;

R , Dg

D

D

10 : 3

51 4. : 4 5. No definido . 6. No definido . p p 7. 2x C 15 C 10 3x : p 2x C 15 : 8. x2 9 p 9. .x 2 9/ 10 3x : p 10. 10 3x .x 2 9/ : p p 10 3x 2x C 15 11. : 2 x 9 p .x 2 9/ 2x C 15 p 12. : 10 3x

15 10 ; : 2 3 15 ; C1 2 1; 1; 10 : 3 10 : 3 f 3; 3 g :

15 10 ; : 2 3 15 10 ; 2 3 15 10 ; 2 3 :

:

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