Funciones Continuas y Discontinuas

Ingeniería en Sistemas Computacionales


Cálculo Diferencial


FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
INTRODUCCIÓN

La presente investigación me servirá para conocer lo que son las funciones continuas y discontinuas, tanto en un punto como en un intervalo, así como saber cuál es la diferencia y poder identificar cuando se trate de cada uno de los casos mencionados, teniendo como conceptosintroductorios la definición de una función y enfocándonos posteriormente sobre el significado más simple de lo que el tema trata.
En palabras muy simples tenemos que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x = a.
Así también se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface la condiciónanterior.
El tema que aquí se trata es de suma importancia para el alumno, ya que le da las bases de lo que a funciones continuas y discontinuas se refiere y, sin indagar mucho en las propiedades de éstas, muestra lo básico que se debe tener en cuenta cuando se trabaja con este tipo de funciones para poder de esta manera identificar una función para saber de qué tipo es, y asimismo desarrollarla.FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Comenzaremos por tener una idea clara sobre lo que son las funciones, y Granville nos hace la aportación siguiente:
FUNCIONES. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de lasegunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puedeconsiderar que la distancia que un muchacho puede recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su diámetro.
FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS
Definición:
Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valorde la función para x = a. En símbolos, si
lím f(x) = f(a) x→a
entonces f(x) es continua para x = a.
Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición.
FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
Una función es continua enun punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las trescondiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor quetoma la función en ese punto.
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Nota
Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
Si una...