Funciones cuadraticas

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Funciones cuadráticas



Si hay un tema que podemos llamar "el más importante" en el curso de matemática de 4º año, es este.
DEFINICIÓN: Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.
y= f(x) = ax²+bx+c con a 0.
Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, oconvenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.
En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales.
Ejemplos de funciones cuadráticas:
A(x) = 3x²+5x-8 P(x) = -2x²-7x+1 C(x) = x²-1 D(x) = -x² miles de ejemplos


Gráfica:
Cada punto tiene dos componentes, (x,y). A la x la llamamos abscisa; a la y la llamamos ordenada.¿Cómo se ubica un punto en un par de ejes perpendiculares (tambien llamados ortogonales) ?

A cada valor de los elementos del dominio, llamados x, le corresponde un único valor en el codominio, y. La pareja (x,y) es el punto que colocamos en el gráfico. Los valores de y=f(x) los obtenemos como resultado de hacer las operaciones en la función cuadrática.
Por ejemplo,si nuestra funcióncuadrática es A(x) = 3x²+5x-8, entonces cual es el correspondiente del -4 ? Al -4 le corresponde A(-4).
A(-4) = 3(-4)²+5(-4) -8
A(-4) = 3(16) -20 -8
A(-4) = 48 -20 -8 = 20
Entonces, enresumen, al -4 le corresponde el 20. El punto es el (-4,20).
Para hacer la gráfica, podemos empezar haciendo una tabla de valores y vamos colocando los puntos obtenidos en el gráfico. Ahora lo veremos un poco más abajo.
Este será nuestro primer método para hacer la representación gráfica. La forma obtenida se llama Parábola.
La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo grado sonparábolas.
Es importante revisar las operaciones, las cuentas. Hay que tener cuidado con los paréntesis.

Por supuesto que sólo podemos representar en el gráfico unos pocos puntos. Aunque hagamos 975 puntos, igual serán unos pocos puntos, considerando los infinitos puntos que tiene la parábola, función de dominio real y codominio real.
Los números reales son infinitos. Entonces siemprepodemos representar sólo unos pocos puntos.
Podemos imaginarnos como quedaría la forma completa. Basta con intentar completar esos pocos puntos que hicimos, con una linea continua. Házlo en tu cuaderno.
Ahora que ya "hicimos" unas cuantas gráficas de funciones cuadráticas, podemos intentar responder algunas preguntas; esto es, hagamos algunas actividades. También puedes volver atras para ayudarte aresponderlas. Y también puedes ir a algunos libros para ver las respuestas.
Para empezar, ¿cómo podrías definir la Concavidad ? Mira las gráficas siguientes.

En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa. En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de lafunción. Además estas funciones pueden tener, o no, raices. Veamos los diferentes casos con ejemplos.

Actividad 1) Lo primero que se puede observar al ver las diferentes gráficas de las funciones cuadráticas es que hay dos grandes clases, segun que su concavidad sea + o —.
¿Esto de que depende ? Si prestas atención, podrás ver que hay una relación entre la concavidad y el signo del coeficienteprincipal, a, que es el de mayor grado.
y=f(x)= ax²+bx+c
Buscamos entonces la relación entre la concavidad y el signo de "a". ¿Cuál es esa relación?

Actividad 2) Otro aspecto interesante de las funciones cuadráticas es que todas, repito, todas, tienen un sólo extremo. Ese extremo será un máximo si el signo de "a" es y es un mínimo si el signo de "a" es
Trata también de...
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