Funciones de distribución contínua

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Distribuciones De Probabilidad Continuas
 
Entre las distribuciones a tratar en esta unidad serían:

1. Distribución Normal
2. Exponencial
 
 
1. Distribución Normal.
 
Características:
 
a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;
- x
b) La función que nos define esta distribución es:
 - x
 
Al dar a la función los valores de , 2 y valores a x, obtendremos la distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de y . La media mide la ubicación de la distribución y ladesviación estándar mide su dispersión.
c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.
d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.
e) El área total bajo la curva es 1.
f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68.26% de los datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a 2, el 95.44% de los datosestará entre esos límites y si sumamos a 3, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en unmomento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.
 
¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

La función f(x, , 2), se integra entre los límites de la variable x; esto es,
 

 
La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidadbuscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

 
Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, sedetermina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos dá el área que se muestra a continuación:
 
0 |

Z |

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos:

1. El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de unatubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fueinferior a 7/16 de pulgada?
 
Solución:

x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas
= 0.635 pulgadas
= 0.082 pulgadas
X = 7/16 |

=0.635 |

Z |

 
 
 
 
 
 
 
 
 
p(z = -2.41) = 0.492
 
p(x 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008
 
Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de7/16 pulgadas
 
2. Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida...
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