Funciones de variable real

CAP´
ITULO II.
FUNCIONES DE
VARIABLE REAL

SECCIONES
A. Dominio e imagen de una funci´n.
o
B. Representaci´n gr´fica de funciones.
o
a
C. Operaciones con funciones.
D. Ejercicios propuestos.

47

´
A. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCION.

Una relaci´n entre dos conjuntos X e Y de n´meros reales que hace correso
u
ponder a cada elemento ”x” del primer conjunto un solo elemento ”y”del
segundo conjunto se llama funci´n de ”y” respecto a ”x”. Dicha relaci´n
o
o
viene expresada por una ecuaci´n en dos variables y = f (x).
o
El conjunto de n´meros reales ”x” para los cuales la f´rmula que define la
u
o
funci´n produce valores tambi´n reales se llama dominio de la funci´n. En
o
e
o
s´
ımbolos,
D(f ) = {x ∈ R : ∃y ∈ R, y = f (x)}
El conjunto de valores ”y” que seobtienen como resultado de aplicar la
f´rmula que define la funci´n a los valores del dominio se llama imagen o
o
o
rango de la funci´n.
o
R(f ) = {y ∈ R : ∃x ∈ D(f ), y = f (x)}
Gr´ficamente, el dominio corresponde a los valores del eje de abscisas (X)
a
en los cuales la funci´n se puede representar.
o
La imagen corresponde a los puntos del eje de ordenadas (Y ) para los que
existegr´fica.
a

PROBLEMA 2.1.

Determinar las funciones a las que da lugar la ecuaci´n de la
o
circunferencia x2 + y 2 = r2 .
Soluci´n
o

La ecuaci´n x2 + y 2 = r2 no corresponde a una funci´n. Pero si escribio√
o
mos y = ± r2 − x2 , obtenemos dos funciones cuyo dominio es el intervalo
cerrado [−r, r] para ambas, mientras que las im´genes son diferentes: para
a
la primera funci´n es [0, r] ypara la segunda, [−r, 0]. Las gr´ficas son las
o
a
que se muestran a continuaci´n.
o

48

y=

√

√
y = − r2 − x2

r2 − x2

PROBLEMA 2.2.

¿Cu´l (o cu´les) de las ecuaciones y = x2 , x = y 2 corresponde a
a
a
una funci´n de y respecto a x?
o
Soluci´n
o

Las ecuaciones y = x2 , x = y 2 representan dos par´bolas. La primera de
a
ellas es una funci´n pero la segunda no esfunci´n. Sin embargo, da luo
o
√
√
gar a dos funciones y = x e y = − x. Las gr´ficas son las siguientes:
a

y = x2

y=

√

x

√
y=− x

De las gr´ficas se observa que el dominio de y = x2 es todo R y la imagen
a
√
√
el conjunto [0, ∞). El dominio de y = x e y = − x es el intervalo [0, ∞),
la imagen de la primera es tambi´n el intervalo [0, ∞) y la de la segunda
e
(−∞, 0].PROBLEMA 2.3.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´n y =
o
49

√

1 − x.

Soluci´n.
o

Para poder efectuar la ra´ el radicando debe ser no negativo. Es decir,
ız,
tenemos que resolver la inecuaci´n 1 − x ≥ 0. La soluci´n es 1 ≥ x, o bien
o
o
x ∈ (−∞, 1].
El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operaci´n
o
√
1 − x. Como 1 − x ≥ 0, las ra´
ıces den´meros positivos dan n´meros
u
u
positivos y no falta ninguno. As´ que la imagen es el intervalo [0, ∞).
ı

PROBLEMA 2.4.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´n y =
o

√

2

x+2 .

Soluci´n.
o

De nuevo necesitamos efectuar una ra´ cuadrada, para lo cual plantearemos
ız
la inecuaci´n x + 2 ≥ 0. La soluci´n es x ≥ −2, o bien, x ∈ [−2, ∞).
o
o
El rango o imagencorresponde a los posibles resultados de la operaci´n
o
√
2
x + 2 . La ra´ cuadrada da resultados positivos y al elevarlos al cuaız
drado el resultado tambi´n es positivo. De nuevo la imagen es el intervalo
e
[0, ∞).
Observaci´n: No se puede confundir la funci´n anterior con la funci´n y =
o
o
o
x + 2, pues el dominio de esta ultima son todos los reales. La simplificaci´n
´
o
de la ra´con el cuadrado s´ es posible pero s´lo para los valores de x ≥ −2,
ız
ı
o
que son los del dominio de la funci´n.
o

PROBLEMA 2.5.

Encontrar el dominio y el rango de la funci´n y =
o

1
.
cos(x2 )

Soluci´n.
o

En este caso aparece una divisi´n, que es una operaci´n v´lida para n´meros
o
o a
u
reales no nulos. Debemos plantear la inecuaci´n cos(x2 ) = 0.
o
50...