Funciones de varias variables

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 6 (1414 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 26 de abril de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
Funciones de varias variables
Generalidades
Distancia entre dos puntos
* Si n=1→recta (en una sola dimensión a lo largo de la recta numérica).
d
x1
x2

dx1,x2=x2-x1
* Si n=2→plano (R2)
BxB,yB
AxA,yA
x
y

dA,B=xA-xB2+yA-yB2
* Si n=3→plano (R3)
AxA,yA,zA
BxB,yB,zB
x
z
y

dA,B=xA-xB2+yA-yB2+zA-zB2
* Si n=n⟶Rn
xx=xx1,x2,x3,⋯,xn⟹x=x1,x2,x3,⋯,xnyy=yy1,y2,y3,⋯,yn⟹y=y1,y2,y3,⋯,yn
dx,y=y1-x12+y2-x22+y3-x32+⋯+yn-xn2
Funciones de dos variables
Definición
Si a cada par x,y de valores de dos variables x y y independientes una de la otra (el valor de una no dependerá del valor que tome la otra) tomadas en cierto dominio de definición D, corresponde un valor determinado de magnitud z, se dice que z es una función de las dos variablesindependientes x y y definidas en el dominio D.
x,y⟶D⟹z
Notación

z=fx,y
z=zx,y
z=Fx,y
z=γx,y

z=φx,y

Nota:
* Una función de 2 variables puede expresarse a través de una tabla o de una fórmula.
* La función de dos variables puede no estar definida para todos los valores arbitrarios de x y y (sobre todo cuando la función presente logaritmos o raíces).
Dominio de definición o campo deexistencia
* El conjunto de valores x,y que toman las variables x y y se denomina dominio de definición.
* En algunos casos el dominio de definición de la función constituye una parte finita o infinita del plano XOY.
Definiciones
Frontera
Son los puntos que limitan o rodean al dominio, pudiendo estar o no incluidos.
Puntos Interiores
Son todos los puntos que no pertenecen a lafrontera.
Dominio Abierto
Si los puntos de la frontera no se incluyen.
Frontera
Puntos Interiores
z
x
y

Dominio Cerrado
Si los puntos de la frontera se incluyen.
Frontera
Puntos Interiores
z
x
y

Dominio Acotado
Si existe una magnitud constante C talque la distancia entre todo punto m del dominio y el origen de coordenadas es menor que C.
Frontera
Puntos Interiores
z
x
y

Elanálisis de todo dominio debe incluir:
1. Análisis Matemático
2. Análisis Gráfico
3. Análisis Analítico o Descriptivo→ Expresar en palabras lo visto. Interpretación.

Ejercicios
* Hallar el dominio de definición de:

* z=2x-y2
Df=x,y/x,y∈R2
Df: ∀x,y∈Plano XOY
* z=1-x2-y2

1. Análisis Matemático
Df=x,y/1-x2-y2≥0
Df=x,y/x2+y2≤1
2. Análisis Gráfico
z
yx
R

3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares x,y que pertenecen al círculo de radio R=1, incluidos los puntos de la frontera.
* z=lnx+y

1. Análisis Matemático
Df=x,y/x+y>0
Df=x,y/y>-x
2. Análisis Gráfico
z
y
x
y=-x

3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares x,y que pertenecen al plano XOY ubicadosa la derecha de la recta y=-x, excluidos los puntos de la frontera.
* Halle el dominio de la función A=12xy, donde A representa el área de un triángulo de base x y altura y.
Dominio de definición: Df=x,y/x,y∈R2
Df=∀x,y∈Plano XOY
Dominio Geométrico: Si hablamos de áreas, no es posible decir que un área puede ser negativa. Además, si x y y son distancias, tampoco pueden ser ni negativasni iguales a cero.
x>0
y>0
z
y
x

* Halle el dominio de z=x2-4+4-y2

4. Análisis Matemático
Df=x,y/∃ z=x2-4+4-y2
Df=x,y/x2-4≥0 ∧ 4-y2≥0
x2≥4 ∧ y2≤4
x≥2 ∧ y≤2
x≤-2 ∨ x≥2 ∧ -2≤y≤2
5. Análisis Gráfico
x
y
y=2
y=-2
x=-2
x=2

z
y
x

6. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares x,y comprendidos entre las rectas y=2 yy=-2 pero con valores x>2 ó x<-2 .
* Halle el dominio de definición para la función z=sin-1yx

7. Análisis Matemático
Df=x,y/∃ z=sin-1yx
Df=x,y/-1≤yx≤1 ∧ x≠0

Sea x>0
-x≤y≤x
-x≤y ∧y≤x
y≥-x ∧ y≤x

Sea x<0
-x≥y≥x
-x≥y ∧y≥x
y≤-x ∧ y≥x

8. Análisis Gráfico
Sea x>0
x
y
y=x
y=-x

Sea x<0
x
y
y=-x
y=x

x
y
y=x
y=-x

z
y
x...
tracking img