Funciones discontinua

Páginas: 10 (2466 palabras) Publicado: 27 de junio de 2015
Funciones discontinua
Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.
Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:
* Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen aldominio de la función, gráfica a.
* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.
1) Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinua
Si el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en ese punto.
2) Si son iguales entonces la función es continua.
3) Si son distintos la función es discontinua En este caso se dice que es unadiscontinuidad evitable.
Teniendo el concepto de lo que es una función discontinua, pasaremos a dar la definición de los tipos de funciones que utilizaremos:






Transformada de la Place.
Primero presentaremos una definición de la transformada de Laplace y un breve análisis de la condición para la existencia de ésta y después ofreceremos ejemplos de la derivación de las transformadas de Laplace en variasfunciones, comunes.
Definamos


= Un símbolo operativo que le indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de la Place

A continuación, la transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante:

El proceso inverso de encontrar la función del tiempo a partir de la transformada de Laplace se denomina transformada inversa de Laplace. La notación para latransformada inversa de Laplace es , se encuentra a partir de mediante la siguiente integral de inversión:

en donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligió más grande que las partes reales para todos los puntos singulares de . Por tanto, la trayectoria de integración es paralela al eje y se desplaza una cantidad c a partir de él. Esta trayectoria de integración va hacia laderecha de todos los puntos singulares. Parece complicado evaluar la integral de inversión. En la práctica, rara vez se emplea esta integral para encontrar Hay métodos más sencillos para obtener
Función rampa
La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo. Si < 0 (cero), el valor de la integral será0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo , la cual también tiene el valor , es decir:

en donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa se obtiene como:












Aplicación en Circuitos Eléctricos

Esta funcion y la funcion escalon son la respuesta de un circuito que tiene una solaentrada la cual es una funcion unitaria. Estas funciones pueden ser de corriente o de voltaje. Ahora esta funcion se debe a la entrada del escalon puesto que no se tienen energias iniciales en los elementos del circuito por este motivo todas las corrientes y todos los voltajes son 0 en t=0 debido aque la funcion escalon es cero para - ~ < t < 0. Asi la funcion rampa es la respuesta ala entrada de unescalon unitario sin energia inicial almacenada en el circuito.
Veremos ahora un ejemplo de esto:

Si calculamos ahora la respuesta del circuito si V1 = Vu(t). para este caso como V2(0-) = 0 y V2 es el voltaje del capacitor, entonces V2(0+) = 0. por consiguiente tenemos que

Si t < 0, entonces u(t) = 0, y V2(t) = 0, para t > 0, u(t) = 1 y tenemos que

Ahora la funcion rampa seria de la siguienteforma.

A esto le llamaremos funcion rampa con una pendiente de -V /RC.

Función escalón:
Se define la función forzada escalón unitario como una función del tiempo que es nula para todos los valores de su argumento que son menores que cero y que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento. Sea el argumento y representamos la función de escalón unitario por u, entonces debe...
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