Funciones exponenciales

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FUNCIONES EXPONENCIALES

Definición. 
Sea [pic] un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia [pic] se llama función exponencial de base a yexponente x. 
Teorema (Leyes de los Exponentes). 
Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces: 
1. [pic][pic] 
2. [pic] 
3. [pic] 
4. [pic] 
5. [pic] . 
6.[pic] 
Cuando a > 1, si x < y,entonces, [pic] .Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 
Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces, [pic] . 
Esto significa que lafunción exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 
su dominio. 
[pic]. 
10.Si 0< a < b ,se tiene: 
[pic] 
[pic]. 
Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales dediferentes bases. 
11. Cualquiera que sea el número real positivo [pic][pic], existe un único número real[pic] tal que 
[pic]. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 
Cuando xe y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definicióny el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 

FUNCIONES LOGARITMICAS
Definición.
Sea a un real positivofijo,[pic] y sea x cualquier real positivo, entonces:
[pic]
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base [pic] , 
denotada por [pic] , se llama: función logarítmica debase a, y, el número [pic] se llama logaritmo de x en la base a. 
La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual sedebe elevar la base para obtener el número. 

Teorema (Propiedades de los logaritmos).
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces: 
[pic]. 
[pic]
[pic]
[pic]...
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