Funciones Exponenciales

Funciones exponenciales
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente deuno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al remplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido estárepresentado por el conjunto de los números positivos.
La función exponencial es del tipo:

x
y = 2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.



x
y = 2x
-3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
3
1/8







Propiedades dela función exponencial
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a >1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.






Definición de función logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente seexpresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b  ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen apartir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1,la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Como el dominio de la exponencial base a es R (conjunto de números reales) y el contra dominio es R+ (conjunto de números reales positivos) entonces el dominio de lafunción logaritmo es R+ , y el contra dominio es R. Es decir:
Expa : R →R+ loga : R+ →R

X → a x x→y = loga (x)














Ley de los logaritmos









Dada la base de el logaritmo de un número, éste es el exponente al cual se debe elevarla base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
Logaritmo en base 2


Logaritmo en base 3


Logaritmo en base 10 ó logaritmo decimal
En los logaritmos decimales no es necesario especificar la base.
log 10 = 1           101 = 10
log 1000 = 3        103 = 1000
log (1/10 000) = −4 10−4 = 1/10 000



Logaritmo natural o logaritmo neperiano
La base delos logaritmos naturales o neperianos es el número e.
Se designan con ln y también con L.
ln 1 = 0           e0 = 1



Cambio de base








Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
 

 
 
 
Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
 

Ejemplo para discusión:  Expresa de la forma exponencial a la...