Funciones lineales y cuadraticas

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FUNCION LINEAL
Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos lainclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
Una función lineal representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirseen la forma siguiente

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

En esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2
La ecuación:

Lapendiente de la recta, el parámetro m= -1, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

Propiedades
En matemáticas, una función lineal esaquella que satisface las siguientes dos propiedades (ver más abajo para un uso ligeramente diferente del término):
* Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen y , entonces . Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.
* Propiedad homogénea:, para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos loscasos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva está establecida. En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.
En general, se dice en Matemáticas que una función es lineal cuando cumple que la imagen de la suma es igual a lasuma de las imágenes (esto es,) y cuando la imagen del múltiplo de un objeto es igual al múltiplo de la imagen (esto es).
Características:
* El dominio de las funciones lineales es el conjunto de los números reales:

* Corte con el eje de abscisas: Una función lineal tiene un único punto corte con el eje X, si (*). Para averiguarlo, basta con hacer y despejar .
(*) Si , la recta eshorizontal, y sólo corta al eje X si es la recta .
* Corte con el eje de ordenadas: El punto de corte con el eje de ordenadas es . Basta hacer en la ecuación, para obtener .
* Una vez determinado el punto de corte de la recta con el eje X, éste determina donde la función cambia de signo. Si la pendiente es positiva, el signo es negativo a la izquierda del punto de corte y positivo a laderecha. Si la pendiente es negativa al revés.
* La función lineal es creciente en todo el dominio si la pendiente es positiva y decreciente si ésta es negativa.

APLICACIONES
1. Determina si las relaciones entre las parejas de magnitudes siguientes son lineales o no, escribiendo para ello la ecuación que las relaciona.
a) Relación entre el precio inicial y el precio rebajado con un10%.
b) Relación entre el peso y el volumen de un material en condiciones constantes de presión y temperatura.
c) Un banco ofrece un depósito anual al 5% con una comisión fija de 20€. Relación entre la cantidad invertida y los intereses recibidos.
d) Relación entre el área de un cuadrado y la longitud de su lado.

Solución:
a) Si el descuento es 10% pago el 90%: PRebajado = 0’9 ·...
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