Funciones ortogonales y ortonormales

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FUNCIONES ORTOGONALES Y ORTONORMALES EN LAS SERIES DE FOURIER

INTRODUCCION

DESARROLLO
La ortogonalidad se base en el concepto de la perpendicularidad, siendo en el caso de las Series deFourier el valor obtenido al evaluar las tangentes de los puntos de la gráfica de una función, un conjunto de funciones fn(t) son ortogonales en un intervalo ab si en este conjunto hay por lo menos dosfunciones fi(t) y fj(t) que:
abfit fjtdt=0 si i≠jrj si i=j

Funciones Ortogonales. Series de Fourier Generalizadas:
Dadas las funciones “f1(x)” y “f2(x)”. definidas en un ciertointervalo de la recta real [a, b], diremos que son funciones ortogonales si verifican:
* ∫(f1(x) f2(x) dx) = 0.
Esta propiedad se puede extender a un cierto conjunto numerable de funciones sobreun intervalo, de modo que se trate de una colección de funciones mutuamente ortogonales.
Sea pues un conjunto {Φn(x)} de funciones reales definidas sobre el intervalo [a, b]. Si se verifica que:
*∫(Φm(x) Φn(x) dx) = 0.
* m ≠ n.
se dice que es un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo [a, b].
Definiremos como norma cuadrática de una función en el intervalo [a, b] a laintegral:
* 0 ≤ ||Φn(x||^2 = ∫(Φn(x)^2 dx).
Obsérvese que siempre podemos convertir un conjunto ortogonal de funciones {Φn(x)} en un conjunto ortonormal dividiendo por la norma de cada una de ellas:* θn(x) = Φn(x) / ||Φn(x)||.
De este modo tenemos asegurado que:
* ||θn(x)|| = 1.
, y {θn(x)} es entonces un conjunto ortonormal.
Sea ahora {θn(x)} una sucesión ortonormal de funciones en elintervalo [a,b]. Dada una función “f(x)” cualquiera, podemos intentar expresarla mediante el siguiente desarrollo en el intervalo [a, b]:
* f(x) = ∑(ak θk(x)).
Para determinar los coeficientes“an”  multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por “θk(x)”:
* f(x) θn(x) = ∑(ak θk(x) θn(x)).
Vamos a suponer que podemos realizar la integración en el intervalo [a, b]. Entonces tenemos:...
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