Funciones reales de una variable

Funciones reales de una variable._
Una Función matemática real “f” es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X, exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Otra definición equivalente: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo un) elemento en Y a cada elemento en X.
Se pretende que todos y cada uno de loselementos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento del segundo conjunto. Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. Un y sólo a un significa que a un mismo elemento en X no le puede corresponder dos elementos distintos en Y.

En términos más sencillos, las funciones matemáticas corresponden al proceso lógico común que seexpresa como “depende de”. Este proceso lógico se aplica a todo lo que tiene relación a un resultado o efecto, sea este medible o no en forma cuantitativa; De este modo podemos discriminar entre variables dependientes e independientes.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones de la vida diaria, por ejemplo: el precio del consumo mensual de agua potable, y este depende delnúmero de metros cúbicos consumidos durante el mes; el precio de un departamento que depende del número de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por una edificación, que depende de la hora del día; el consumo eléctrico en Kilowatt/hora de una propiedad, que depende del tiempo en el que estén funcionando los artefactos eléctricos; el costo de enviar una encomienda que depende de su peso ode su tamaño; la estatura de un niño que depende de su edad, entre muchos otros.

Tomando un sencillo ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar alcuadrado":
x -------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número" dada en este caso.

Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 ó f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3, o dicho de otra forma, f evaluada en 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.

Ahora vamos a considerar algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas:

A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

X Y

Wendy 55
Pablo 88
Daniel 62
Fernando 88
Humberto 90

Cada persona (perteneciente alconjunto X) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

B) Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variableindependiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y
-1 ------------> 1
0 -------------> 3
1 -------------> 5
2 -------------> 7

Usualmente X e Yson conjuntos de números.
Podemos comparar una función con una “máquina” a la cual se le introduce el elemento x y cuya salida correspondiente es f(x).

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto
A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A, e Y por B: f : X -----> Y)

El primer conjunto A se conoce como DOMINIO (Dom) de la función...