funciones reales

Funciones Reales

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1 CONCEPTOS BASICOS
1.1 FUNCION
Definición 1.1
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, en los cuales se define una relación de A en B.
Decimos que esa relación es una función, si y sólo si , todo elemento de A se relaciona con un
único elemento en B.
En otras palabras, para que una relación entre los conjuntos A y B sea una función, es
necesario que por medio deella “todo elemento del conjunto A esté asociado con un único
elemento del conjunto B”.
La función f de A en B se denota por f : A→ B
Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

A
•
•
•
•

f

B
•
•
•
•

Esta relación no es función pues
existe un elemento de A relacionado
con dos elementos de B

A
•
•
•
•

h

B
•
•
••

En este caso no es función puesto que
un elemento de A no está relacionado
con ningún elemento de B

Si f: A → B es una función y x es un elemento cualquiera de A, entonces existe un
elemento y que pertenece a B, que está relacionado con x mediante la función f , a tal elemento
y se le llama imagen de x mediante f y se denota por y=f(x).
La expresión y=f(x), se lee “ y es la imagen dex mediante f ” o “ y es el valor de la
función f en x” . Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del
conjunto A, su correspondiente imagen.
Ejemplo ilustrativo 1.1 Consideremos los conjuntos
B = { 0, 1, 2, 3, 4 }, y la función

A = {-2, -1, 0, 1, 2 } y

f : A → B donde f(x) = x2 .

Funciones Reales

La regla y=f(x) nos permite encontrar la imagen decada

A

f

2

B

-2

mediante un gráfico o como un conjunto de pares ordenados
f = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }

0

-1

1

0

elemento del conjunto A, la función la podemos representar

2
3

1

4

2
Figura 1

1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función tal que f:A→ B con y=f(x). El conjunto A se llama dominio de la
función f y se denotapor Domf. Es decir Domf = A. y al conjunto B se le llama codominio de
f.
Al subconjunto de B, conformado por todos los elementos relacionados con elementos del
dominio mediante la función, lo llamaremos rango de la función f y lo denotaremos por Ragf.
Es decir Ragf = {y∈B: y=f(x) para algún x∈A}
En el ejemplo ilustrativo 1.1 el dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es
elconjunto formado por las imágenes Ragf = { 0, 1, 4 }.
Diagrama ilustrativo.

C
A=Dominio
f
B

A= Conjunto de salida o dominio.
B= Conjunto de llegada o codominio.

Figura 2

C= conjunto imagen o rango (C está contenido en B)
Observaciones.
1) Si la función esta definida de A en B entonces, el dominio de dicha función es el conjunto A
y el codominio es el conjunto B.
2) Todos loselementos

del dominio de una función deben estar relacionados con algún

elemento del codominio (conjunto de llegada).
3) Pueden existir elementos en el codominio de una función (conjunto de llegada) que no son
imagen de elemento alguno del dominio.
4) No puede existir ningún elemento del dominio de una función que posea más de una imagen
en el conjunto de llegada (codominio).

FuncionesReales

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Imagen Recíproca.
Sea f una función de A en B. Denominaremos imagen reciproca del elemento b ∈ B , al
conjunto de todos los elementos de A que según f tienen por imagen al elementos b
Correspondencia Recíproca.
Sea f una función de A en B. Llamaremos correspondencia recíproca de f a la relación
de B en A tal que b estará relacionado con a si y sólo si b es la imagen de a mediantef.
Observaciones.
1) La correspondencia recíproca no define en todos los casos una función de B en A.
2) Para una función f cualquiera quedará definida su correspondencia recíproca que
denotaremos por f −1 , y en caso de ser función la llamaremos función inversa de f.
Igualdad de funciones.
Sean f y g dos funciones cualesquiera, se dice que las funciones f y g son iguales (f=g) sí y sólo...