Funciones, recopilación de vitutor.com

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Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).
[pic]
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Dominio de la función irracional de índice impar

Eldominio es R.
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Dominio de la función irrracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
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Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.
[pic]
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Dominio de la función exponencial

El dominio esR.

Funciones compuestas
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Propiedades

• Asociativa:
f o (g o h) = (f o g) o h

• No es conmutativa.
f o g ≠ g o f

• El elemento neutro es la función identidad,i(x) = x.
f o i = i o f = f
Sean las funciones:
[pic][pic]
[pic][pic]
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Funciones Inversas
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
• Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:
1. El dominio de f−1 es el recorrido de f.
2. El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una funcióntenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, [pic].

Cálculo de la función inversa

1 Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2 Se despeja la variable x en función de la variable y.
3 Seintercambian las variables.
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Vamos a comprobar el resultado para x = 2
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Crecimiento y decrecimiento

Función estrictamente creciente

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f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
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Función creciente

[pic]           

f es creciente en asi sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
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Función estrictamente decreciente

[pic]

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
[pic]
[pic]

Función decreciente

[pic]

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal quepara toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
[pic]
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Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
Simetría

Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par

Unafunción f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:
f(−x) = f(x)

[pic]

Simetría respecto al origen. Función impar

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:
f(−x) = −f(x)
[pic]
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Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, severifica:
f(x) = f(x + zT)

[pic]
La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:
sen (x + 2π) = sen x
Para hallar el periodo de una función se divide el periodo de la función de la que proviene entre lo que te da:
1f(x) = sen 2x el periodo de f(x)= sen x = 2 pi
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Puntos de corte

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de...
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