Funciones trigonométricas

Objetivos
* Identificar los elementos que definen una función exponencial.
* Dada una función exponencial, discutir sus características y el efecto de su base sobre éstas.
* Dada la gráfica de la función exponencial creciente o decreciente estándar, construir otras gráficas aplicando técnicas de graficación.
* Dadas las condiciones de un problema real, resolverlo con la ayuda deuna función exponencial.
Funciones de una Variable Real
Se conoce como funcion exponencial a la funcion f de variable real cuya regla de correspondencia es:
f(x): ax , a € R+ ^ ( a ≠ 1)
En esta definición, condiere que a representa la base y x el exponente.
Con el propósito de tener una idea de cómo luce la gráfica de una función exponencial, vamos a analizar los diferentes valores quepuede tomar la bas a, es decir, cuando a > 1 o cuando 0 < a < 1.
a > 1

Si consideramos un valor en este intervalo, por ejemplo a = 2, tendremos la siguiente tabla de valores:
X | - ∞ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | …. | + ∞ |
f(x) | 0 | … | 18 | 14 | 12 | 1 | 2 | 4 | 8 | …. | + ∞ |

La representación gráfica de esta función exponencial se encuentra en la siguientefigura

Consideremos ahora cualquier base a, donde a es un número real positivo diferente de 1. Al igual que en el análisis previo, a cada número real x corresponde exactamente un número positivo ax para el que las leyes de los exponentes se cumplen; en consecuencia, como se ve en la tabla, resulta viable definir una función f cuyo dominio es R y su imagen es el conjunto de números realespositivos.
Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo, por ejemplo a = 3, notaremos un comportamiento similar. Lo mismo ocurre para a = 5 0 a = 10.

Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura, notaremos que están definidas para todos los reales, su rango es R+, son inyectivas, estrictamente crecientes, intersecan al eje Y en el punto (0,1) y están acotadas inferiormentepor y = 0
0 < a < 1
Cuando x > 0 y el valor de a se incrementa, la función exponencial experimenta un alargamiento vertical. Cuando x < 0 y el valor de a se incrementa, la función exponencial experimenta una compresión vertical.

Si consideramos un valor en este intervalo, por ejemplo a = 12, tendremos la siguiente tabla de valores:
X | - ∞ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |…. | + ∞ |
f(x) | + ∞ | … | 8 | 4 | 2 | 1 | 12 | 14 | 18 | …. | 0 |

La representación gráfica de esta función exponencial se encuentra en la siguiente figura.

Si consideramos otro valor para a en este mismo intervalo, por ejemplo a = 18, notaremos un comportamiento similar. Lo máximo ocurre para a = 15 o a = 110 .

Si observamos con mucha atención las gráficas de la figura, notaremosque están definidas para todos los reales, su rango es R+, son inyectivas, estrictamente decrecientes, intersecan al eje Y en el punto (0,1) y están acotadas inferiormente por y = 0
Cuando x > 0 y el valor de a disminuye, la función exponencial experimenta una comprensión vertical. Cuando x < 0 y el valor de a disminuye, la función exponencial experimenta un alargamiento vertical.EJEMPLO FUNCIÓN EXPONENCIAL
Grafique la función fx=1-2x+1, para todo x € R e indique sus características
Solución:
* Paso1: Identificamos la función original: f(x) =2.
* Paso 2: Desplazamos la función original una unidad hacia la izquierda.
* Paso 3: Reflejamos esta última función con respecto al eje x.
* Paso 4: Desplazamos esta función reflejada una unidad hacia atrás.

f(x) =-1-2x+1 tiene las siguientes características:
* dom f = R
* Rg f = (-∞, 1)
* Inyectiva, estrictamente decreciente, acotada superiormente por y = 1.
* Intersección con el eje x: (-1,0)
* Intersección con el eje y: (0,-1)

Terminología | Definición | Grafica de f para a > 1 | Gráfica de f para 0 < a < 1 |
Función exponencial f con base a | f(x) = ax para toda x en...