Funciones Varias Variables

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES
[Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

En esta unidad estudiaremos funciones f con dominio D ⊆ ℜn y con valores en el conjunto ℜ de los números reales. Ejemplos de tales funciones son las siguientes:

f ( x, y ) =

x2 + y2 − 4

g ( x , y ) = ln( xy ) h ( x , y ) = x sen y w ( x, y, z ) = 3 x + e
y z

Ejercicio: Determine eldominio de las
funciones definidas precedentemente.

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_____________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

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Si f : D ⊆ ℜ 2 → ℜ , el gráfico de f es un conjunto de puntos de 3

ℜ :

Gr( f ) = {( x, y, z) ∈ ℜ3 / ( x, y ) ∈ D ∧ z = f ( x, y ) }

El gráfico de f, corresponde a la superficie S en el 3 espacio ℜ.

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+ Por ejemplo, el gráfico de la función f(x, y) = k, k ∈ℜ es el plano de ecuación z = k que se muestra en la figura 1. El gráfico de la función g(x, y) = 2 – y es el plano de ecuación y + z = 2 (figura 2).
figura 3.

Figura 3.

Figura 1Figura 2
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_____________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

Las gráficas siguientes corresponden a la superficie definida por f(x, y) = y2 – x2, realizadas con computadora y con calculadora ClassPad 300.

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Dibujar la superficie correspondiente a la gráfica de z = f(x, y) no es un asunto fácil. Por esta razón surge la idea de representar la superficie mediante un “mapa de contorno”. Cada plano horizontal z = c, intersecta la superficie en una curva; la proyección de esa curva sobre el plano XY se llama curva de nivel y una colección de tales curvasconstituyen un mapa de contorno.

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Si f es una función de 3 variables y C > 0 es una constante, la gráfica de f(x, y, z) = C es una superficie de nivel de la función f. Por ejemplo, las superficies de nivel de la función f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2 tienen la forma4x2 + y2 + z2 = C, es decir son elipsoides. Una superficie cuadrática es la gráfica correspondiente a Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 que por traslación y rotación puede expresarse: Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 o Ax2 + By2 + Cz + J = 0.

Ejemplos de tales superficies son los elipsoides, hiperboloides de una hoja y de dos hojas, conos, paraboloides elípticos, paraboloideshiperbólicos y los cilindros.
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Elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

+ z2 = 1
c

2

Hiperboloide
2 2

Paraboloide z =

x a2

+

y

x2 a2

+

y2 b2

− z2 = 1
c

2

b2
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_________________________________________________________________________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

Hiperboloide dos hojas

x2 a2

−

y2 b
2

−

z2 c2

=1

Paraboloide hiperbólico

z=

x2 a2

−

y2 b2

Cilindro

x2 a2

+

y2 b2

=1

2 Cilindro parabólico y = ax
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Límites y continuidad
Conceptos previos a la definición de límite de una función: Si x0 = (x1, . . . . , xn)

∈ℜn

y

δ > 0 , el conjunto

B( xo, δ) = { P ∈ ℜn / P - xo < δ }
se llama bola o vecindad abierta de centro x0 y radio El conjunto B* ( xo, δ) = B(xo, δ) - {xo } perforada centrada en xo.

δ.

se llama vecindad abierta

n n Sea A ⊆ ℜ ; el punto xo ∈ℜ...