Funciones vectoriales

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Funciones vectoriales En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes. R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b Una función vectorial se expresa como: R(t) = < f(t),g(t), h(t) >= f(t) I +g(t) j + h(t)k Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t) Ejercicios: 1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial R(t)= 2 cos ti + 2 sen tj +tk t" o Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones, Se ve que los puntos de la curva estánsituados en el cilindro circular X2 + y2 = 4 z cilindro x2+ y2 = 4 x y 2.− trazar la grafica correspondiente a la función vectorial r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4 el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy z x2 + y2 = 4

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z=3 y x obtengo la función vectorial que describe la curva c deintersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9 − x2 −y2 si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 − t2 − 4 t2 = 9 −5t2 z X Y Calculo de funciones vectoriales Limites y continuidad La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t) tatata TEOREMA Si lim t a r1(t) = L1y lim t a r2 (t) = L2 entonces • Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar ta (ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2 ta • lim r1 . rt2 = L1 . L2 ta Derivadas de funciones vectoriales La derivada de una función vectorial r es r'(t) = lim 1/t [r (t +t) − r(t)] TEOREMA

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Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)> Interpretacióngeométrica de r'(t) Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p. r = r(t + t) − r(t) r/ t = 1/t [r (t + t)−r(t) Ejercicios: 1.−Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o" t " 2". Trace r'(0) y r'("/6) Eliminando el parámetro de las ecuaciones parametricas x = cos 2t Y =2 sen t 0" t " 2" encontramosque C es la parábola x = 1−2y2 −1" x" 1 r'(t) = −2 sen 2 ti + cos tj r´(0) = j y r'(" /6) = −"3i + " /2 J r'(" /6) y r'(0) x (1,0) 2.− obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas son x = t2 y = t2 − t z = −7 t en t =3 la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es r(t) = r2 i + (t2 −t )j − 7 tk r't = 2 ti + (2t−1)j −7k r'(3) = 6i + 5j −7k. Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es

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r'(3)= 9i +6j −21k esto es, p(9,6,−21). Empleando las componentes de r'(3), vemos que x =9 + 6t y =6 +5t z = −21 −7t son ecuaciones parametricas de la recta tangente. Derivadas de orden Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes.En el caso de la segunda derivada tenemos r'' = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k. Ejemplo: r(t) = (t3 − 2t2 )i + 4tj + e−tk , r'(t) = (3t2 −4t)i + 4j − e−tk r''(t) = ( 6t −4)i + e−tk regla de cadena si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es dr/dt = dr/ds ds/dt = r'(s) u' (t) Ejemplo: Si r(s) = cos 2si + sen 2sj +e−3sk, en donde s = t4 , entonces dr/dt = [ −2 sen 2si + 2 cos 2sj − 3e−3sk]4t3 integrales de funciones vectoriales si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por: " r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k Ejemplo: Si R(t) = 6t2 i + 4e−2tj +8 cos 4tk Entonces " r(t) dt =...
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