FUNCIONES VECTORIALES

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO VECTORIAL
FUNCIONES VECTORIALES
Conceptos fundamentales
Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una
regla que asocia a cada punto " r " de una cierta región

S⊂

n

un vector

()

m

F r ∈

F : S∈

y se denota como
n

→

m

Al conjunto " S " de valores que toma la variable
independiente, se le denomina dominio y alconjunto de
valores que toma

()

F r se le llama imagen o recorrido. Las

funciones vectoriales se conocen también como campos
vectoriales y aquí se clasificarán en:
- Campos vectoriales de variable escalar
- Campos vectoriales de variable vectorial
Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una
función vectorial con dominio en los reales, es decir, cuando
n = 1. En dos y tres dimensionesse acostumbra representar
como:

F:
F:

→

2

→

3

∧

∧

∧

∧

F (t ) = x (t ) i + y (t ) j

⇒

F (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k

⇒

Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar:
∧

∧

i) F ( t ) = t i + t j
3

∧

2

∧
∧
ii) F (θ ) = a (θ + senθ ) i + a (1− cos θ ) j
∧

∧

∧

iii) F ( t ) = ( x0 + at ) i + ( y0 + bt ) j + ( z0 + ct ) k
∧

∧

∧

iv) F ( v ) = a cos v i + bv j +asenv k
Sus gráficas son las siguientes:

Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión
mayor de uno, o sea, n > 1 se tiene el caso de funciones
vectoriales de variable vectorial.
Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial:
∧

∧

∧

i) F ( t, s ) = ( x0 + a1s + a2t ) i + ( y0 + b1s + b2t ) j + ( z0 + c1s + c2t ) k
∧

∧

∧

ii) F (u, v ) = u cos v i + usenv j + u k
2

ING.PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3
∧

∧

∧

iii) F (u, v ) = senu cos v i + senusenv j + cos u k
Sus gráficas son las siguientes:

Límites y continuidad de funciones vectoriales
Definición. El límite de una función vectorial, cuando la variable

r∈

n

tiende al punto

r0 ∈

n

, denotado como

()

lim F r = I
r →r 0

existe sí y sólo si para

ε >0

y

δ >0

se cumple que:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4()

F r − I < ε siempre que 0 < r − r 0 < δ
Teorema. Sea

Entonces:

F : n → m definida por
F r = ⎡ y1 r , y2 r , , y m r ⎤
⎣
⎦

()

() ()

()

()

()

()

lim F r = ⎡lim y1 r ,lim y2 r ,
⎢⎣ r →r 0
r →r 0
r →r 0

()

,lim y m r ⎤
⎥⎦
r →r 0

Teorema. Propiedades. Sean

F:
tales

que

n

→

m

()

lim F r = A
r →r 0

y
y

G:

n

()

→

m

lim G r = B , entonces se
r →r 0

cumple que:

A existe, esúnico.
ii) lim ⎡ kF r + G r ⎤ = kA + B ; k ∈
⎦
r →r 0 ⎣
iii) lim ⎡ F r ⋅ G r ⎤ = A ⋅ B
⎦
r →r 0 ⎣
iv) Para m = 3 ; lim ⎡ F r × G r ⎤ = A × B
⎦
r →r 0 ⎣
i)

Si

() ()
() ()

()

() ()

v) lim F r = A
r →r 0

π
⎛
⎞
1
sen
t
2
−
∧
∧⎟
⎜
t − 1∧
t −1
2
Ejemplo. Calcular lim ⎜
i−
j+ e
k⎟
t →1
1− t
t
⎜
⎟
⎝
⎠
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5

Ejemplo. Calcular

lim F ( r ) si
r →r 0

⎛ x ⎞ ∧ x 2 − 2 xy + y 2 ∧
F( x, y ) = xang tan ( xy ) i + ln ⎜ ⎟ j +
k
2
3
y
x y−y
⎝ ⎠
∧

r 0 = (1,1)

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

Continuidad

F : n → m una función vectorial. Se dice que
F es continua en r 0 ∈ n sí y sólo si se cumple que

Definición. Sea

() ( )

lim F r = F r 0
r →r 0

Definición. Se dice que
que

()

F r es continua en r = r 0 si se cumple

() ( )

lim F r − F r 0 = 0 o bien lim Δ F = 0
r →r 0

Δ r→0

Derivadas
Definición.

i) Sea F : → m una función vectorial de variable escalar
" t " . Entonces se define a la derivada de F en t0 como:
dF ( t )
dt

= lim

Δt →0

(siempre que el límite exista)

F ( t0 + Δt ) − F ( t0 )
Δt

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

7

ii)

Sea

vectorial

F:

n

→

m

r = ( x1, x2 ,

una función vectorial de variable

()

, xn ) , esto es, F r = F ( x1, x2 ,

Entoncesse define la derivada de

(

r 0 = x10 , x20 ,
∂F
= lim
∂xi Δxi →0

)

F con respecto a xi en

, xn0 como:

(

F x10 , x20 ,

, xi0 + Δxi ,
i = 1,2,

(siempre que el límite exista)

, xn ) .

) (

, xn0 − F x10 , x20 ,

xn0

)

Δxi
,n

Teorema.
i) Sea F una función vectorial de variable escalar definida
por

F ( t ) = ⎡⎣f1 ( t ) , f2 ( t ) ,
dF ( t )
dt

ii)
por

, fm ( t ) ⎤⎦ . Entonces

=...