Funciones

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Análisis de Funciones
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real. Las funciones que estudiamosserán:

o
y = ax
n

Polinómicas:
+bx
n− 1

o
f ( x) g ( x)

+... d

o o o o

Racionales: y =

Irracionales y = f ( x ) Logarítmicas y = log ( f ( x) ) Exponenciales y = e f ( x )

 y = s e (nf ( x) )   y = c o ( sf ( x))  y = t g( f ( x)) 

Trigonométricas

o

A trozos (Tecnológico)

 y = f ( x) s ix < a   y = g ( x) s ix ≥ a
Dominio
El subconjunto en el que sedefine la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. Dependiendo de cada tipo de función el dominio será diferente:

o Polinómicas: todos los reales (-∞, ∞) o Racionales: calcularemos el dominio despejando la ecuación que se genera al
igualar el denominador a cero. Lospuntos que obtengamos no pertenecerán al dominio.

y=

f ( x) → g ( x) = 0 g ( x)

o Irracionales: calcularemos el dominio despejando la inecuación que se genera al
igualar a cero la función que se encuentra dentro de la raíz.
y= f ( x) → f ( x) ≥ 0

o Logarítmica: calcularemos el dominio haciendo que la función que haya siempre
dentro del logaritmo sea positiva.

y = log ( f ( x) )→ f ( x) > 0
En nuestro caso como y = log ( x ) → x > 0 ⇒ D = ℜ+

{ }

ó

( 0, ∞)

o Exponenciales: todos los reales (-∞, ∞)
o o

Trigonométricas: todos los reales (-∞, ∞) A trozos: dependerá del dominio de cada función en su intervalo.

Recorrido
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x) Se denominarecorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). Dependiendo de cada tipo de función el recorrido será diferente. Tenemos que recordar que el recorrido de una función en muchos casos no lo podremos averiguar hasta que dibujemos la función. Aún así de forma general:

o Polinómicas: todos los reales: D=(-∞, ∞), o Racionales: y = lim o o o o o

)Irracionales: D = [0, ∞ . Logarítmica: todos los reales: D = (-∞, ∞),
Exponenciales D = ℜ+ ó ( 0, ∞) Trigonométricas: dependerá de la amplitud de la onda y de la función trigonométrica A trozos: dependerá del recorrido de cada función en su intervalo.

f ( x) x →∞ g ( x )

{ }

Asíntotas
Tenemos tres tipos de asíntotas:

o Asíntota vertical: y = xlima f ( x) = ±∞ → o Asíntota horizontal: y = xlim f( x) = ±b (siendo b un número) →∞ o Asíntota oblicua: sólo existirá si no hay asíntota horizontal. Su forma es:

f ( x)  m= l i m  y = m + xn →  x→ ∞ x [  n = l i mf (x) − m ] x  x→ ∞

Corte con los ejes
Tenemos dos tipos, uno por cada eje y podemos obtener varios, uno o ningún punto. Dependerá de la función:

 E j→ e y X= 0 → h aq yud e s p e j a r x C oc rol toen sj → e  s  E j→e x =Y 0 → h qa ydu e s y p e j a r
Simetría
Tenemos dos tipos, simetría par e impar. Se calcula sustituyendo la variable x por lo que dicte cada simetría.

o Simetría Par: f ( x) = f (−x ) o Simetría Impar: f ( x ) = − f (−x )

Monotonía
ello: Al estudiar la monotonía averiguaremos si una función es creciente o decreciente. Para

o Calculamos la f ' ( x) . o Pueden pasar dos opciones: oSi queda una variable x tenemos que resolver la ecuación:
signos.

f ' ( x ) =0 ,

una vez obtenidos los valores hacer el estudio en cada intervalo.

o Si no queda una variable x tendremos que hacer el estudio mirando los o Dependiendo del resultado tendremos: o Si f ' ( x) >0 →creciente en el intervalo (siempre hay que indicar el
intervalo)

o Si o Si

f ' ( x ) 0 →el punto es...
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