funciones

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NOTAS DE CLASE
CÁLCULO I
Martha Pinzón
Daniela Vasquez
Diego L. Hoyos
Jaime Robledo
Álvaro Garzón

Índice general
I

Funciones

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1. Conceptos generales
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Formas de representar una función.
Gráca de una función. . . . . . . .
Álgebra de funciones. . . . . . . . .
Función inversa. . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .2

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Introducción
Las matemáticas que se enseñan en el bachillerato se constituyen en una herramienta para abordar y comprender otras disciplinas cientícas. Los estudiantes que ingresan a la universidad,
debenestar familiarizados con los números reales, deben manejar
desigualdades, manejar algunos conceptos de geometría analítica y
manejar correctamente el concepto de función, en el cual se soportan los cursos de Cálculo. Por esta razón, el propósito de la parte I
de estas notas y de los apéndices al nal, está destinado a recordar
estos conceptos básicos que son necesarios para abordar el curso deCálculo I.
En el apéndice A se estudian los números reales desde un punto de vista axiomático, repasando un poco el álgebra, presentando
tanto la estructura algebraica como la estructura de orden y estudiando el concepto de valor absoluto, junto con algunos teoremas y
propiedades.
En el apéndice B se presentan elementos básicos de geometría
analítica como son: sistema de coordenadas, elplano y algunos lugares geométricos importantes como la recta y circunferencia, los
cuales se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 y de
grado 2 respectivamente y en el apéndice C se estudian los números complejos y sus propiedades, los cuales permiten dar solución a
toda ecuación cuadrática.
En la parte I se aborda el tema de funciones el cual permite la
aplicación de la matemática adiversos campos. Se estudian las funciones elementales de gran importancia en los cursos de matemática fundamental a nivel universitario, como las funciones lineales y
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ÍNDICE GENERAL

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cuadráticas y las funciones trascendentes como lo son la función
exponencial, la función logarítmica y las funciones trigonométricas.
Después de estos temas de matemática básica, entramos a trabajaraquellos que corresponden a un curso de cálculo I el cual consta
de métodos, reglas y procedimientos para obtener resultados. Este
cálculo corresponde a la rama del cálculo diferencial.
Una ecuación diferencial por si sola puede describir el ritmo
al que se mueve un objeto, el dinero que genera una cuenta de
ahorros a un determinado interés, la velocidad a la que crece o
disminuye unapoblación, la velocidad a la que se enfría o se calienta
un objeto, etc. Es por esta razón que el cálculo estudia incrementos
de variables, pendientes de curvas, extremos locales de una función
es decir, valores máximos y mínimos, valores óptimos y grácas de
funciones. Es así como en estas notas se presentan estos temas, en
las parte II, III y IV.
Esperamos que estas notas de clase sirvan a losestudiantes como
un primer acercamiento al cálculo y les ayude en el desarrollo posterior de su educación matemática, con los temas más avanzados de
cálculo integral, cálculo en varias variables, ecuaciones diferenciales
y matemáticas especiales, temas que forman parte de currículo de
todos los programas de ciencias e ingeniería.

Parte I
Funciones

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a

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a

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aCapítulo 1
Conceptos generales
El concepto de función es uno de los conceptos más importantes
en matemáticas. Su denición, de carácter general, permite que sea
aplicable a un gran número de situaciones donde aparecen relaciones de dependencia, tanto en el ámbito cientíco como en la
vida diaria. Inicialmente damos su denición, para luego estudiar
sus propiedades.

Denición 1.0.1....