Funciones

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1. Resumen
2. Límite de una función
3. Definición de límite de una función
4. Ejercicios propuestos 1
5. Infinitésimo
6. Ejercicios propuestos 2
7. Funciones que crecen sin límite
8. Límites indeterminados
9. Ejercicios propuestos 3
10. Continuidad de una función
11. Bibliografía

Resumen.
Estudio del límite de funciones en un punto; comenzaremos dicho estudio analizando lagráfica de una función. Trataremos los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados Estudio de la continuidad de funciones.

Límite de una función.
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función


Para todo punto x ≠1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por laderecha
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31
f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3


La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en elnúmero 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, yescribimos

Definición de límite de una función.
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Esta definición indica que los valoresde f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.
Ejemplos 1.
1) Utilicemos ladefinición para demostrar que
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier existe una tal que
si entonces (A)
si entoncessi entonces
si entonces
Entonces, si tomamos se cumple la proposición (A). Esto demuestra que
Tomando , luego, para esos valores de y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:entonces


Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que
Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,
si entonces...
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