Funciones

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Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
1
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1
La función es continua en todos los puntos de su dominio.
D = R− {−2,2}
La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.
2
La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, siigualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3
La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3
3

La función es continua en toda
4

|−1 − (−3)| = 2
La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .
5

En x = 1 hay unadiscontinuidad de salto finito.
6

La función es discontinua inevitable de salto 2/3 en x = 0.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
2
Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

f(0)=0

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
3
Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

Sólo hay duda de la continuidad de lafunción en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
4
¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1

La función es continua en x = 0.
2

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
5
Dada la función:

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
f(5) = 0.

Resolvemos la indeterminación:

f(x) no es continua en x = 5 porque:

2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.
Si la función sería continua, luego la función redefinida es:

Ejerciciosresueltos de continuidad de funciones
6
Estudiar la continuidad de la función:

La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
7
Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

La función es continua en toda .Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
8
Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

La función está acotada . por tanto se verifica:
, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.
Al ser f(0) = 0.
La función es continua.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones
9
Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

Ejercicios resueltos decontinuidad de funciones
10
La función definida por:

es continua en [0, ∞).
Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

Ejercicios con soluciones

Soluciones

Continuidad de una función

Una función es continua en un punto cuando cumple las siguientes condiciones:
* Tiene que existir el límite de la función en ese punto
* Tiene que estar definida lafunción en ese punto
* El valor de la función y el del límite, en dicho punto, deben ser iguales.
Una función es continua en un intervalo (a;b), cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo.
Es decir la función f(x) es continua en el punto x0, si cumple:

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a) lim f(x) y lim f(x) (No debe ser )-------------------------------------------------
x x0 x x0
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b) f(x0)
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c) lim f(x) =f(x0)...