Funciones

Páginas: 6 (1316 palabras) Publicado: 28 de marzo de 2012
SITUACIÓN PARA INICIAR EL ESTUDIO DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Un vidriero cuenta con una pieza de espejo en forma triangular. De esta necesita obtener un espejo rectangular con la mayor área posible. Al determinar las medidas de sus catetos, estos miden 40 y 60 centímetros, respectivamente. Calcula las medidas del espejo rectangular en cuestión. Representemos la situación con un gráfico:40 cm 

x y 60 cm

Si ubicamos este gráfico en un plano cartesiano, y hacemos coincidir el ángulo recto con el origen del plano y los catetos con los ejes x e y, tenemos:

Y C(0 , 40)

P(x , y)

A(0 , 0)

B(60 , 0)

X

Como sabemos, el área de un rectángulo es el producto de las longitudes de la base y la altura de este. Las coordenadas x e y del punto P representan el largo y elalto del espejo buscado. Es decir, el área del rectángulo es: · (1)

 

Como podemos ver, el punto P de coordenadas x e y representa todos los puntos de la hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC. Esto significa que el segmento de recta BC tiene como dominio el intervalo 0 , 60 1, y como recorrido, el intervalo 0 , 40 . Es decir: 0 , 60 y 0 ,40 . Puesto que la hipotenusa BC representa unafunción lineal, podemos encontrar su ecuación cartesiana ya que se conocen dos puntos:

y 2 − y1 y − y1 = x 2 − x1 x − x1
Reemplazamos los puntos B(60 , 0) y C(0 , 40); nos queda:

y −0 40 − 0 = 0 − 60 x − 60
Reducimos términos:

y 2 = − 3 x − 60
Aplicamos la propiedad de fracciones equivalentes:

2( x − 60) = −3 y
Aplicamos la propiedad distributiva:

2 x − 120 = −3 y
Despejamos laaltura del rectángulo (variable y):

2 x − 120 =y −3

(2)

La expresión (2) determina la altura del rectángulo en función del ancho de este. Sustituyendo (2) en (1), se produce:

⎛ 2x − 120 ⎞ A= x ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

A=−

2 2 x + 40 x 3

(3)

La expresión matemática que se acaba de obtener es una función cuadrática de x (largo delrectángulo) en relación con A (área del espejo buscado). Elaboremos una tabla de valores para analizar el comportamiento de dicha expresión.

                                                            
1

 Tanto el largo como el ancho del rectángulo pueden tomar valores reales. 

 

Representemos estos puntos en el plano cartesiano y usemos una escala adecuada (se puede usar un graficador). xA=f(x) 0 0 6 216 12 384 18 504 24 576 30 600 36 576 42 504 48 384 54 216 60 0

A=f(x)
600
(24,576) (30,600) (36,576)

500

(18,504)

(42,504)

400
(12,384) (48,384)

300

200

(6,216)

(54,216)

100

0 0 10 20 30 40 50 60

x

Observamos la tendencia y unimos los puntos con una línea continua.

A=f(x)
600
(24,576) (30,600) (36,576)

500

(18,504)

(42,504)

400(12,384) (48,384)

300

200

(6,216)

(54,216)

100

0 0 10 20 30 40 50 60

x

 

La curva que se acaba de graficar se denomina parábola. Tiene por dominio el intervalo 0 , 60

2 2 x + 40 x 3 2 que es un caso particular de la expresión general y = ax + bx + c con a, b, c ∈ R . Donde a,
y tiene por recorrido el intervalo 0 , 600 ; la curva responde a la expresión A = − b y cson: a = − , b = 40 y c = 0 . En la gráfica, el eje horizontal representa el valor de la base del espejo rectangular y el eje vertical representa el área del espejo buscado. Claramente se puede ver que el espejo de mayor área está representado en la parte más alta de la gráfica, esto es 600 cm2. Esta área es generada por un rectángulo de base determinada por el centro del dominio 0 , 60 , 30.Esto significa que el vértice de la parábola tiene por coordenadas el punto (30 , 600). Confirma estos valores, usando la expresión , , cuya deducción la puedes estudiar en el anexo 1.

2 3

Si el área máxima está generada por un rectángulo de base 30 cm, podemos encontrar la altura del rectángulo usando la fórmula del área. · Reemplazamos datos: 30 · 600 Despejamos y: 20 También puedes...
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