Funciones..

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Funciones
eleazar.madariaga@alumnos.usm.cl
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Dificultad:
: Simple
: Intermedio
: Desafiante
: Nivel Certamen UTFSM
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Sea ݂ ‫ ܼ ׷‬՜ ܼ la función definida por݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ ݔ‬െ 2. Determinar si ݂ es
biyectiva, si no lo es, redefinirla para que lo sea.

Problema nº 1:

Solución:
Para que la función sea biyectiva, debe ser inyectiva y epiyectiva.
Sea ܽ, ܾ ‫ܼ א‬

݂ሺܽሻ ൌ ݂ሺܾሻ ֜ 4ܽ െ 2 ൌ 4ܾ െ 2

Veamos si es inyectiva (o uno a uno)

Luego ݂ es uno a uno.

4ܽ ൌ 4ܾ
ܽൌܾ

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ ݔ‬െ 2 ֜ ‫ ݔ‬ൌ

Veamos si es epiyectiva (o sobre)Funciones/Mat-021
Eleazar Madariaga - UTFSM

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൅ 2
4

Página 1

Luego 1 ‫ ܼ א‬no es imagen de ningún entero ya que 1 seria imagen de
‫ݔ‬ൌ

ൌ

‫ܼב‬

‫ ݂ ׵‬no es biyectiva, por que no es sobre.
ଵାଶ
ସ

ଷ
ସ

Para que ݂ sea biyectiva debe definirse sobre su rango y con eso
aseguramos que es sobre.
Rang ݂ ൌ ቄ‫/ܼ א ݕ‬

‫ܼ א‬ቅ ൌ ሼ‫ ݕ /ܼ א ݕ‬ൌ േ2ሺ2݊ െ 1ሻ, ݊ ‫ܰ א‬ሽ

‫ ܼ ׷ ݂ ׵‬՜ ሼേ2ሺ2݊ െ1ሻሽ definida por ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4‫ ݔ‬െ 2 es epiyectiva y
como era uno a uno, ahora podemos decir que es biyectiva.
௬ାଶ
ସ

݂ ‫ ܴ ك ܣ ׷‬՜ ܴ , ‫ ݔ‬՜ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁

a) Determine el dominio de ݂.

Problema nº 2:

b) Determine el recorrido de ݂.

Sea

ೣషభ
ೣమ షమೣశభ

c) ¿Es ݂ biyectiva? En caso negativo haga las restricciones necesarias para
que lo sea y defina ݂ ିଵ .
Dom (݂) ൌ ቄ‫ ݁ :ܴ אݔ‬ೣమషమೣశభ ‫ܴ א‬ቅ

Solución:
a)

ൌ ൜‫ ݁ :ܴ א ݔ‬௫ିଵ ‫ܴ א‬ൠ
ೣషభ

ൌ ሼ‫1 ് ݔ :ܴ א ݔ‬ሽ
ଵ

b)

ൌ ܴ െ ሼ1ሽ

Rec (݂) ൌ ቄ‫ ܴ א ݔ ׌ ׷ ܴ א ݕ‬െ ሼ1ሽ ‫ ݕ ׷‬ൌ ݁ ೣషభ ቅ
ൌ ൜‫ ܴ א ݔ ׌ ׷ ܴ א ݕ‬െ ሼ1ሽ ‫ ݔ ׷‬ൌ
ൌ ܴା െ ሼ1ሽ

Funciones/Mat-021
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ln ‫ ݕ‬൅ 1
‫ ݕ ר‬൐ 0ൠ
ln ‫ݕ‬
భ

Página 2

c) Sean ‫ ݕ ,ݔ‬en el Dom (݂) tales que ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݕ‬ሻ, entonces ݁ ೣషభ ൌ ݁ ೤షభ.
Aplicando ln (que esuna función inyectiva), sigue que ‫ ݔ‬ൌ ‫ .ݕ‬Así, ݂ es
inyectiva.
భ

భ

Como Rec (݂) ് Cod (݂), sigue que ݂ no es epiyectiva.

Para obtener una función biyectiva a partir de la función ݂, debemos
redefinir el dominio y el codominio de ݂. Así, si ponemos

݂ ‫ ܴ ׷‬െ ሼ1ሽ ՜ ܴା െ ሼ1ሽ, definida por ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ ೣషభ , resulta que ݂ es una
función biyectiva. Su inversa queda definida por:
݂ ିଵ‫ܴ ׷‬ା െ ሼ1ሽ ՜ ܴ െ ሼ1ሽ, ݂ ିଵ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 ൅

భ

ଵ

୪୬ ௫

Determine el recorrido de la función ݂, definida por

Problema nº 3:

Solución:
Como

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

‫ݕ‬ൌ

2
,
|‫ |ݔ‬െ 1

‫ ് ݔ ׊‬േ1

2൅‫ݕ‬
2
֞ |‫ |ݔ‬ൌ
|‫ |ݔ‬െ 1
‫ݕ‬

|‫ |ݔ‬൒ 0 ,

‫ܴאݔ׊‬

Sabemos que se cumple (propiedad del valor absoluto)
2൅‫ݕ‬
൒0
‫ݕ‬

Entonces, obtenemos la siguiente inecuación
Que tienecomo puntos críticos: െ2 y 0

Lo que necesitamos ahora es encontrar los intervalos que cumplan con la
inecuación y para ello construimos una tabla

Funciones/Mat-021
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Página 3

ሺെ∞, െ2ሿ
+

2൅‫ݕ‬
‫ݕ‬
2൅‫ݕ‬
‫ݕ‬

ሾെ2,0ሻ
+
-

ሺ0, ൅∞ሻ
+
+
+

ሺെ∞, െ2ሿ ‫ ׫‬ሺ0, ൅∞ሻ

Observando la tabla nos damos cuenta que la solución para este caso es
ܴ݁ܿ ሺ݂ሻ ൌ ሼ‫ ݕ ׷ܴ א ݕ‬൑ െ2 ‫ ݕ ש‬൐ 0ሽ
Por lo tanto el recorrido es

a) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ඥ‫݊݁ݏܿݎܣ‬ሺlog ଶ ‫ݔ‬ሻ

Problema nº 4:

Hallar el dominio de cada una de las funciones siguientes:
b) ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ log ଶ ሾlog ଷ ሺlog ସ ‫ݔ‬ሻሿ

c) ݄ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ൅ 2஺௥௖௦௘௡௫ ൅
ଵ

௫

ଵ

√௫ିଶ

Solución:
Observación: Es recomendable que el estudiante antes de resolver esta
clase de problemas analice detalladamente cada una de lasfunciones
involucradas (por separado) tanto su dominio como su recorrido.
‫݊݁ݏܿݎܣ‬ሺlog ଶ ‫ݔ‬ሻ ൒ 0 ֞ 0 ൑ log ଶ ‫ ݔ‬൑ 1 ֞ 1 ൑ ‫ ݔ‬൑ 2

a) Se debe tener que

Luego ‫ ݉݋ܦ‬ሺ݂ሻ ൌ ሾ1,2ሿ

b) La función ݃ esta definida para
De donde

Funciones/Mat-021
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log ଷ ሺlog ସ ‫ݔ‬ሻ ൐ 0

log ସ ‫ ݔ‬൐ 1 ֞ ‫ ݔ‬൐ 4

Página 4

Luego ‫ ݉݋ܦ‬ሺ݂ሻ ൌ ሺ4, ∞ሻ
- ‫0്ݔ‬...