Funciones


CURSO: MATEMÁTICA I


Tema :

FUNCIONES
INTRODUCCIÓN:

Las funciones surgen en diferentes situaciones de nuestra vida diaria que son expresados en términos matemáticos con los cuales podemos describir, analizar, hacer predicciones a futuro, tomar decisiones sobre diversas situaciones que se presentan en el mundo real; como por ejemplo los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco, elcrecimiento poblacional, etc.
Existen diversas situaciones donde existe una relación entre dos variables, es decir que una depende de la otra, pero no todas éstas relaciones describen a una función. En esta sección se tratarán las funciones más usuales en la modelización de fenómenos y sus aplicaciones en las distintas ciencias y en la vida diaria, así como sus características generales, tantoanalíticas como gráficas.

1. DEFINICIÓN: Sean A, B dos conjuntos no vacíos.de A en B , es una función sí y sólo sí a un elemento del conjunto A le corresponde únicamente un elemento en el conjunto B a través de .
Si pertenece a la función , se escribe se lee: “f evaluado en a”. El valor de se llama imagen de a mediante .

Si una función se expresa por una relación del tipo , entonces sedenomina la variable independiente o argumento dee se conoce como la variable dependiente.

Observación:
1. No puede haber dos pares ordenados distintos en f con la misma primera componente (a).
2. Puede existir en f varios pares ordenados con la misma segunda componente. (b)

Ejemplos:







(a) No es función (b) sí es función(c) sí es función
Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son conjuntos de números reales, ésta función es llamada una función (de valor) Real de variable real.

DEFINICIÓN: Sies una función, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales tales que es un número real. Simbólicamente:


DEFINICIÓN: Si es una función, la imagen de f(Rango de ) es el conjunto de todos los resultados de . Simbólicamente:


DEFINICIÓN: Si es una función, la gráfica de f es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden representarse en el plano cartesiano.












Propiedad Fundamental de las Funciones Reales de una variable real:

es una función toda recta vertical corta a su gráfica de f a lo másen un punto.



Sí es función no es función
Ejemplo: Considérese la función y calcule:
a) b) b)
Solución:

a) ==
b)
c) =

CALCULO DEL DOMINIO UNA FUNCION

En general, al determinar el dominio de una función debemos tener enmente dos condiciones:

Cualquier expresión dentro de una raíz de índice par no puede ser negativa.
El denominador de cualquier fracción no puede ser cero.

Ejemplo: Determinar el dominio de:
a)

Solución: Es claro que no es un número real bien definido sí . Para cualquier otro valor de , es un número real bien definido. En consecuencia:

b)

Solución: El dominio de es el conjunto detodos los valores para los cuales la expresión dentro del radical no es negativa. Esto es:
Si ,no es un número real, dado que la cantidad a la que se extrae raíz cuadrada, sería negativa.

c)

Aquí el radical solo es positivo para . Pero el denominador es cero si de modo que estos dos puntos deben excluirse del dominio. Así:

En problemas prácticos, con frecuencia es necesarioconstruir una función algebraica a partir de cierta información verbal.

Por ejemplo:

1) Función de costo de electricidad: la electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de S/. 10 por unidad para las primeras 50 unidades y a S/. 3 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la función que da el costo de usar unidades de electricidad.

Solución:

Si , cada...