Función Inversa

Función Inversa
2.1. Inversa de una función f :  → :
Sea f:U →  una relación de tipo uno es a uno. Sea x un elemento de U, y sea, i:  →  una función tal que i(x) = x, la cualrecibe el nombre de función identidad. Entonces existe una función g:  →  tal que
(g◦f)(x) = i(x),

la cual recibe el nombre de función inversa de f y se denota f-1.

Luego si f-1 esla función inversa de f, o simplemente la inversa de f, entonces se cumple que:
(f-1 ◦ f )(x) = i(x)

Si lo anterior es válido para todo x de U, entonces f-1 recibe el nombre de inversa global.Fig. 1


Del despeje hecho anteriormente, si se considera , la gráfica correspondiente a ésta ecuación corresponde a la mostrada en la figura 24.



.Fig. 2







Fig. 3














Fig. 4


Por otra parte, si
y = f(x) y si g(y) = f -1(y)= x

en un entorno del elemento x0 del dominio de f se cumple que:

(g ◦ f )(x) = (f -1 ◦ f ) (x) = i(x) = x
(g ◦ f )´(x) = g´( f(x) ) f´(x) = 1

ycomo f´(x) ≠ 0 ,







2.2. Condiciones para que F : n → n admita inversa.
Inversa local de una función F : n → n.
En forma similar a lo establecido para una función de  en, para que una función F :U n → n admita inversa en un abierto U , F debe ser continuamente diferenciable y el determinante jacobiano distinto de nulo, para asegurar que sea una relación de tipouno es a uno .

Teorema:









Establecidas las condiciones para que una función F :Un → n sea una función de tipo uno es a uno en una esfera abierta S contenida en U con centro enX0, y que por lo tanto F admite inversa, se procede a hacer la siguiente definición:
Definición:












2.3. Teorema de la función inversa.
Matriz del diferencial de la...