Funcuones de variable compleja

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TEMA 3

Funciones de Variable Compleja

Contenido
17.1 Números Complejos 17.2 Raíces y Potencias 17.3 Sets en el Plano Complejo 17.4 Funciones de una Variable Compleja 17.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 17.6 Funciones Exponencial y Logarímica 17.7 Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas 17.8 Funciones Inversas: Trigonométricas e Hiperbólicas
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17.1 Números Complejos
DEFINICIÓNNúmeros Complejos

Un número complejo es cualquier número z = a + ib

donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. z = x + iy, el número real x es llamado parte real y el número y es llamado parte imaginaria: Re(z) = x, Im(z) = y

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DEFINICIÓN

Número Complejo

Dos números complejos z1  x1  iy1 y z2  x2  iy2 son

Iguales, z1  z2 si Re( z1 )  Re( z2 ) , x+ iy = 0 si x = 0 e y = 0.

y Im( z1 )  Im( z2 )

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Operaciones Aritméticas
Si z1  x1  iy1, z2  x2  iy2 entonces z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) z1  z2  ( x1x2  y1 y2 )  i( y1x2  x1 y2 ) y1x2  x1 y2 z1 x1x2  y1 y2  2 i 2 2 2 z2 x2  y2 x2  y2

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Ejemplo 1
Si z1 = 2 + 4i, z2 = −3 + 8i, entonces (a) z1+ z2 = 1 + 12i (b) z1z2 =−6 – 12i + 16i – 32 = −38 + 4i

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Conjugada Compleja
Si z  x  iy, z  x  iy, entonces z1  z 2  z1  z 2 z1  z 2  z1  z 2 z1 z 2  z1 z 2  z1  z 2   z  z  2 1

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Dos ecuaciones importantes
z  z  ( x  iy )  ( x  iy )  2 x
zz  ( x  iy )( x  iy )  x 2  i 2 y 2  x 2  y 2 z  z  ( x  iy )  ( x  iy )  2iy

(1) (2) (3)

y

zz zz Re( z )  , Im( z)  2 2i
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Ejemplo 2
Si z1 = 2 − 3i, z2 = 4 + 6i, Encuentre (a) z1/z2 (b) 1/z1 Solución (a) 2  3i 4  6i 8  12i  12i  18i 2  4  6i 4  6i 16  36  10  24i 5 6    i 52 26 13 (b) 1  1 2  3i  2  3i  2  3 i 2  3i 2  3i 2  3i 4  9 13 13

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Interpretación Geométrica
 XY es el plano complejo y el número complejo z es considerado como un vector posición.

10 DEFINICIÓN

Módulo o Valor Absoluto El módulo o valor absoluto del númro complejo z = x + iy, se

denota como | z│y es el número real dado por:
| z |  x 2  y 2  zz

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Example 3
Si z = 2 − 3i, entonces z  22  (3) 2  13 Como puede verse en la próxima fig. la suma de los vectores z1 y z2 es el vector z1 + z2. por lo que z1  z2  z1  z2 el resultado puede extenderse a cualquiernúmero de vectores y es conocido como la desigualdad triangula z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn

z1  z 2  ( z 2 )  z1  z 2  z 2 z1  z 2  z1  z 2
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13

Potencias y Raíces
Forma Polar z = r(cos  + i sin ) (1) donde r = |z| es el módulo de z y  es el argumento de z,  = arg(z). Si  está en el intervalo − <   , se denomina argumento principal y es denotado como Arg(z).14

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Ejemplo 1
Exprese 1  3i en forma polar. Solución
r  z  1  3i  1  3  2 5  3 tan   ,  arg( z )  1 3 cos 5  i sin 5  z  2 3 3  

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Ejemplo 1 (2)
Si se toma el argumento principal − <   , sería  = −/3. cos(  )  i sin(   ) z  2 3 3   

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Multiplicación y División
 Si
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) z 2  r2 (cos  2  isin  2 )

entonces

z1 z2  r1r2 [(cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i (sin 1 cos  2  cos 1 sin  2 )]

(2)

para z2  0, z1 r1  [(cos1 cos 2  sin 1 sin  2 ) z2 r2

 i (sin 1 cos 2  cos1 sin  2 )]

(3)

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 Se puede obtener por trigonometría,
z1 z2  r1r2 [cos(1   2 )  i sin(1   2 )] (4) z1 r1  [cos(1   2 )  i sin(1   2 )] z2 r2 (5) por lo quez1 | z1 | | z1z2 |  | z1 | | z2 | , , (6) z2 | z2 |  z1  arg ( z1z2 )  arg z1  arg z2 , arg   arg z1  arg z2 (7)  z2 
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Ejemplo 2
Como Arg z1 = /2 , para z1 = i. y además Arg z = −/3 , para z = 1  3i entonces
z1 z2  i (1  3i )  3  i  3i z1 i   z2 1  3i 4 z1   5 arg( z1 z2 )    , arg( )   ( )  z2 6 2 3 6 2 3







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Potencias de z
z  r...
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